極小モデルプログラムとその諸応用の研究

平成18年度には私たちは正標数での線織曲面における川又・フィーベックの消滅定理の反例に関する事項を中心として研究した。

平成17年度の一つの研究成果として、正標数での幾何的線織曲面における川又・フィーベックの消滅定理の反例が存在することを証明したが、その研究を続けて、以下三つの研究成果を得た。

第一に、上記の反例を一般化して、もっと一般的な線織曲面において、川又・フィーベックの消滅定理の反例が存在することを証明できた。

第二に、正標数でPicard数が1であり、一つの非有理特異点をもつある種の正規del Pezzo曲面上に川又・フィーベシクの消滅定理の反例が存在することを見つけた。

第三に、正標数での幾何的線織曲面における川又・フィーベックの消滅定理の反例の特徴づけができた。結果としては、次のことを証明した。

定理.Xを曲線C上の幾何的線織曲面とする。Xにおける川又・フィーベックの消滅定理の反例が存在するとしたら、次の二つのことのいずれかが成り立つ。

(1)曲線Cの丹後不変量n(C)が正である。

(2)Xのすべての切断が豊富である。

さらに、複素体上の有効な非消滅予想について、Fourier・向井変換を使って次の結果を証明した。

定理.Xを複素体上の非正則n次元代数多様体とする。もしすべてのnより小さい整数mに対して、m次元の有効な非消滅予想が成り立てば、Xにおける有効な非消滅予想が成立する。

上記の定理の系として、すべてのアーベル多様体に対して、複素体上の有効な非消滅予想が成り立っことが証明できた。