ハミルトン力学系の諸問題と関連する幾何と解析

• 研究課題/領域番号: 09440050
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 伊藤 秀一 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90159905)
• 研究分担者: 小野 薫 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20204232) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (20188288) ; 盛田 健彦 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (00192782) ; 宮岡 礼子 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (70108182) ; 志賀 啓成 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (10154189)
• 研究期間 (年度): 1997 – 1998
• 研究課題ステータス: 完了 (1998年度)
• 配分額: 4,200千円 (直接経費: 4,200千円); 1998年度: 2,100千円 (直接経費: 2,100千円); 1997年度: 2,100千円 (直接経費: 2,100千円)
• キーワード: ハミルトン力学系 / 可積分系 / 変分法 / シンプレクティック幾何学 / ゼータ関数 / 複素力学系 / シンプレティック幾何学 / エルゴード埋論 / 大域幾何学

研究概要

本研究によって得られた主な成果について,研究計画に対応させながら以下に述べる.
1. 可積分系に関連する研究:宮岡は等径超曲面の分類問題で未解決であった,主曲率の個数6の場合について,それが等質なもの2種しかないことを,Lax方程式をみたす自己双対作用素の1径数族がもつアイソスペクトラル原理を焦点部分多様体のシェイプ作用素に適用することによって証明した.これは超曲面論と可積分系理論の関係を示した顕著な結果である.
2. エルゴード理論に関する研究:盛田が,転送作用素の方法による,面積有限な双曲的リーマン面上の測地流の閉軌道に関するセルバーグゼータ関数Z(s)のフレッドホルム行列表現を求め,転送作用素のスペクトルの性質からZ(s)の解析性についての情報を得た.さらに群表現が付加された場合にこれを拡張し,熱力学系式によるChabotarev型の閉測地線定理の証明に成功した.
3. 変分法の研究:田中が2体問題タイプの特異ハミルトン系に対して,特異性の指数α>2のときに,無限遠からきて無限遠に飛び去る解の存在を変分法によって証明した.さらに,α=2の場合に固定エネルギー問題を考察し,全エネルギー=0の周期解を変分的に構成するとともに,その対応物として,コンパクトでないリーマン多様体上の閉測地線の存在定理を得た.
4. シンプレクティック幾何に関する研究:小野が一般の閉シンプレクティック多様体上で,Gromov-Witten不変量,および周期的ハミルトン系のFloerホモロジーを構成することによって,完全シンプレクティック写像に対するアーノルド予想(の一つの形)を一般的に証明した.さらにその手法を発展させLagrangian intersectionのFloerホモロジーの構成を研究した.
5. 複素力学系に関する研究:志賀がクライン群の極限集合と複素力学系におけるジュリア集合の関数論的集合としての類似性を証明した.

研究成果

• [文献書誌] Ito, Hidekazu: "Integrability of symplectic maps and their Birkhoff normal forms" Tohoku Math. J.49. 73-114 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Shiga, Hiroshige: "On the monodromies of holomorphic families of Riemann surfaces and modular transformations" Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.122. 541-549 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Miyaoka, Reiko: "The splitting and deformations of the generalized Gauss map of compact CMC surfaces" Tohoku Math. J.51. 35-53 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Morita, Takehiko: "Markov systems and transfer operators asseciated with cofinite Fuchsion groups" Evgod. Th. & Dynam. Sys.17. 1147-1181 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Tanaka, Kazunaga: "Multiple positive solntions for some nonlinear elliptic systems" Topological Methods in Nonlinear Analysis. 10. 15-45 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Ono, Kaoru: "On Arnold's conjecture for symplectic fired points" Banach Center Publications. 45. 13-24 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Connolly, F, Van, Le Hong, and Ono, K: "Almost Complex Structures which Are Compatible with Kahler or Symplectic Structures" Ann. Global Analysis and Geometry. 15. 325-334 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 伊藤, 秀一: "常微分方程式と解析力学" 共立出版, 292 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 志賀, 啓成: "複素解析学 I=基礎理論" 培風館, 152 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] H.Ito: "Integrable symplectic maps and their Birkhoff normal forms" Tohoku Math.J.49. 73-114 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H.Shiga: "On the mondromies of folomorphic families of Riemann surfaces and modular transformations" Math.Proc.Cambrigde Philos.Soc.122. 541-549 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H.Shiga and H.Tanigawa: "Projective structures on Riemann surfaces with discontinuous holonomies" Trans.Amer.Math.Soc.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H.Shiga: "On complex analytic properties of limit sets and Julia sets" preprint, Titech-Math 10-98 (#86). (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] R.Miyaoka: "The splitting and deformations of the generalized Gauss map of compact CMC surfaces" Tohoku Math.J. 51. 35-53 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] R.Miyaoka: "The homogeneity of isoparametric hypersurfaces with six principal curvatures" Preprint, Titech-Math 04-98(#80). (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] I.Morita: "Markov systems and transfer operators associated with cofinite Fuchsian groups" Ergod.Th.& Dynam.Sys.17(5). 1147-1181 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Y.Nomura: "Absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrodinger operator on L^2 (R^3)" J.Math.Kyoto Univ.37(4). 639-687 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] A.Ambrosetti and K.Tanaka: "On Keplerian N-body type problems, in "Nonlinear Analysis and continuum mechanics" Paper for the 65-th birthday of James Serrin" (G.Buttazzo, G.P.Galdi, E.Lanconelli, P.Pucci ed.). Springer. 15-25 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K.Tanaka: "Multiple positive solutions for some nonlinear elliptic systems" Topological Methods in Nonlinear Analysis. 10. 15-45 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] P.Felmer and K.Tanaka: "Hyperbolic-like solutions for singular Hamiltonian systems" NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.(to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K.Tanaka: "Periodic solutions for singular Hamiltonian systems and closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds" Ann.Inst.H.Poincare Anal.Non Lineaire. (to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Y.Kabeya and K.Tanaka: "Uniqueness of positive radial solutions of semilinear elliptic equations in R^N and Sere's non-degeneracy condition" Comm.Partial Differential Equations. (to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K.Ono, F.Connolly and H.-V.Le: "Almost complex structure which are compatible with Kahler or symplectic structures" Ann.Global Anal.Geometry. 15. 325-334 (1997)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K.Ono: "On Arnold's conjecture for symplectic fixed points" Banach Center Publications 45"Homotopy and Geometry"(J.Oprea and A.Tralle eds.). 13-24 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K.Fukaya and K.Ono: "The Arnold conjecture and Gromov-Witten invariant" Topology. (to appear).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Shiga,Hiroshige: "Projective structures on Riemann surfaces with discontinuous holonomies" Trans.Amer.Math.Soc. (出版予定).
• [文献書誌] Miyaoka,Reiko: "The splitting and deformations of the generalized Gauss map of compact CMC surfaces" Tohoku Math.J.51. 35-53 (1999)
• [文献書誌] Felmer,Patricio: "Hyperbolic-lihe solutions for singular hamiltonian systems" NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.(出版予定).
• [文献書誌] Tanaka,Kazunaga: "Periodic solutions for singulor Hamiltonian systems and closed geodesics on non-compact Riemannion manifolds" Ann.Inst.H.Poincare(Non linear). (出版予定).
• [文献書誌] Ono,Kaoru: "On Arnold's conjecture for symplectic fixed points" Banach Center Publications. 45. 13-24 (1998)
• [文献書誌] Fukaya,Kenji: "The Arnold conjectnre and Gromov-Witten in variant" Topology. (出版予定).
• [文献書誌] Shiga,Hiroshige: "On the monodromies of holomorphic families of Riemonn surfaces and modular transformations" Math.Proc.Cambridge Philes.Soc.122(3). 541-549 (1997)
• [文献書誌] Miyaoka,Reiko: "The splitting and deformations of the generalized Gauss map of compact CMC surfaces" Tohoku Math.J.(出版予定).
• [文献書誌] Morita,Takehiko: "Markov systems and transfor operaters associated with Fuchsian groups" Ergod.Th.& Dynam.Sys.17. 1147-1181 (1997)
• [文献書誌] Tanaka,Kazunaga: "Multiple positive solutions for some nonlinear elliptic systems" Topological Methods in Nonlinear Analysis. 10(出版予定).
• [文献書誌] Tanaka,Kazunaga: "On Keplerian N-body type problems" "Nonlinear Analysis and Continuum mechanics"(springor)ed : G.Buttazzo,G.P,Galdi,E.Lanconelli,P.Pucci. 15-25 (1997)
• [文献書誌] Ono,Kaoru: "On Arnold's conjecture for symplectic fixed points" Banach Center Publications. (出版予定).
• [文献書誌] 伊藤,秀一: "常微分方程式と解析力学" 共立出版, 292頁 (1998)
• [文献書誌] 志賀,啓成: "複素解析学I=基礎理論" 培風館, 152頁 (1997)