| 研究概要 |
2次元空間型から同じ曲率を持つ3次元空間型への(特異点を許容した)等長はめ込みの性質を,測地線の空間の幾何構造を用いて調べた.
まず,2次元球面から3次元球面への波面としての特異点を許容した等長はめ込み,すなわち外的平坦波面を調べ,前年度に得られた3次元球面の外的平坦閉波面の分類を弱完備な外的平坦波面へと一般化した.本申請研究の目的の一つであったカスプ辺でない特異点の個数の評価に対して,コンパクトな外的平坦波面でカスプ辺のみを持つものが存在することがわかった.一方で,前年度に外的平坦波面の焦面もまた外的平坦波面となることを導いていたが,その逆問題「焦面が外的平坦である曲面は外的平坦か?」を考え,反例が存在することがわかった.そこで,そのような曲面を分類し,加えてWeingartenである曲面は回転面かひとつの主曲率が一定である曲面であることを示した.さらに,それらの波面への一般化を考え,一つの主曲率が一定である波面で弱完備であるものを分類し,それらは向き付け可能であることを導いた.この手法を応用して,3次元球面の弱完備な外的平坦波面は余向き付け可能ならば向き付け可能であることを示した.また,3次元球面の測地線の空間の幾何構造を調べ,そのミニツイスター空間としての複素構造に付随する不定値計量の性質を用いて,3次元球面の部分多様体の様々な特徴づけを導いた.
上記に加えて,前年度に引き続き交差帽子型の特異点の幾何学的不変量何算無限個存在する)を調べ,それらの不変量のうち2次の不変量はすべて内在的であり,3次以上のものには内在的でないものが存在することを示した(長谷川氏,直川氏,梅原氏,山田氏との共同研究).また,Wulff図形が凸とは限らないある種のエネルギー密度関数に対する非等方的極小曲面を調べ,とくにそれらとミンコフスキー空間内の平均曲率0曲面とが対応することを導いた(小磯氏,田中氏との共同研究).
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