| 研究概要 |
完全非線形の楕円型・放物型偏微分方程式に対し,その境界値問題の可解性および解の性質について研究を行っている.本年度行った研究とその成果を以下に述べる.
一つは,昨年度までに引き続きk次基本対称関数(k=1,・・・,n,ここでnは空間次元)により定まる曲率方程式(以下,k-曲率方程式と呼ぶ)についての研究である.凸関数のクラスに対して、そのk-曲率がボレル測度として得られることを証明した.それにより,k-曲率方程式に対して弱い意味の解である「広義解」を定義することができるようになった.加えて,広義解の基本的な性質についても考察した.特に,別の弱い意味の解として知られている「粘性解」の概念を(凸関数のクラスでは)包含していることは特筆に値する.この結果はk-曲率方程式の特別な場合であるガウス曲率方程式(k=n)に関する結果の拡張となっており,また今後のk-曲率方程式に対する境界値問題の解の存在・一意性の研究にも有用であると考えられる.
次に,本年度は一般の完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式についても研究を行った.ある条件を満たす完全非線形方程式の粘性解において,1つの等高面は常に除去可能であることを証明した.この種の研究はこれまで半線形および準線形方程式に対してのみ行われてきたが,完全非線形方程式に対しては本研究が初めてである.さらに,本研究の結果は既知の結果の多くを含むものとなっている.このことについての論文は現在投稿中である.
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