| Research Abstract |
1 吸収項のある準線型方程式の初期値問題 u_t=△〓(u)ーψ(u);u(o,x)=f(x)をN≧1,fεL(R^N)〓L^∞(R^N)(=L^1〓L^∞)に対して扱う。増加関数〓とψについて場合に分けて,半群解u=exp(t(△〓ーψ))fの構成およびそれのψ(吸収)による影響を調べた。その中で特に以下のような結果を得た。なおN=1の場合を除いてこの種の研究はほとんどなされていない。L_f(γ)=S^γ_odf(s)/sと書く。
(1)L〓(γ)<∞,Lψ(γ)<∞の場合:(〓(γ)=γ^m,ψ(γ)=γ^Pならばm>1,P>1)
C_hu=u+(h/k)(e^<k△>ーI)〓(u)ーhψ(u),k=h〓(m)/(1ーhL_ψ(m)),m>0を論文(1986年)と同様に扱うことにより,単純な手法で,
R(Iー△〓+ψ)=L^1〓L^∞かつexp(t(△〓ーψ))f=<lim>___<h↓o>(C_h)^<[t/h]>fを得た。さらに同様の手法により積公式exp(t(△〓ーψ))f=<lim>___<h↓o>(e^<h△〓>・e^<ーhψ>)^<[t/h]>fも得たが,これは解の台のψによる影響の研究に活かされる。
(2)L〓ψ^<ー1>(γ)<∞,L_<ψー1>(γ)=S^ψ_o^<(γ)>ds/ψ(s)<∞の場合:(上の例でm>P,1>P)
前のケ-スの論法によりまず R(Iー△〓ψ^<ー1>+ψ^<ー1>)=L^1〓L^∞ を示し,その結果としてR(Iー△〓+ψ)=L^1〓L^∞を得て,解u=exp(t(△〓ーψ))fを構成する。解uのψによる影響の1つとして次の挙動を得た:
||η(u)||_<L^1>≦||η(f)||_<L^1>exp(ーt/S^||_o^<f||∞>ds/ψ(s)),η(γ=S^γ_o〓(s)^αds,α>o.
2 関連研究として,運動量作用素p=ー〓(d/dx)+〓(c/x)R,Ru(x)=u(ーx)がL^2(R^1)の中で自己共役となるための条件が論文(1989年の|C|>1から1C1>1/2へと改良された。証明はRe(ーdu/dx,(c/x)Ru)≧(ー1/2|C|)||(c/x)R/||^2にもとづく。
3 関連研究として,Hilbeγt空間における正則消散作用素A(t)に対してu_<tt>=A(t)u;u(o)=f,u_t(o)=gを扱った。(1)|Re(A(t)u,υ)ーRe(u,A(t)υ)|≦L|(ーA(t))^αu||(ーA(t))^<1/2ーα>υ|(A(t)の形状)(2)|(d/dt)(A(t)u,υ)|≦M|(ーA(t))^<1/2ーα>υ|(A(・)の滑らかさ)をA(t)に課して,【numerical formula】を解いた。
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