古典群論とその応用

• Project/Area Number: 04640093
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: 代数学・幾何学
• Research Institution: Josai University
• Principal Investigator: 石橋 宏行 城西大学, 理学部, 教授 (90118513)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 河野 繁雄 城西大学, 理学部, 教授 (90077909) ; 山崎 正之 城西大学, 理学部, 助教授 (70174646) ; 芳沢 光雄 城西大学, 理学部, 助教授 (40118774) ; 鈴木 義則 城西大学, 理学部, 講師 (90077917) ; 菅野 恒雄 城西大学, 理学部, 教授 (80016021)
• Project Period (FY): 1992
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1992)
• Budget Amount: ¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000); Fiscal Year 1992: ¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000)
• Keywords: 古典群(classical groups) / 線型群(linear groups) / 斜交群(symplectic groups) / トランスヴェクション(trans vection) / 局所環(local ring) / 交代空間(alternating space) / グラフ(graph) / 退化空間(singular space)

Research Abstract

一般に、群Gの部分集合Σが任意に与えられた時、Gが群としてΣで生成されるかどうかの判定は易しくない。
1986年イギリス北ウェールズ大学のトポロジーの教授R.Brownとその弟子のS.P.Humphriesはグラフ理論を用いて、これに関し独創的で美しい一つの結果を示した。(Orbits under symplectictransrectsからI,II,Proc.London Math.Soc.13)52,517-556(1986))。
彼らは、“G=体R上n次の交代空間V上のTransvection全体で生成される群S_p(V)、S=Vの任意に与えられた空でない部分集合、Σ=Rの任意の元aとSの任意の元sで定義されたTransvection T_0(s)の全体"とした時GがΣで生成される必要十分条件をSに関する極めて簡潔な条件に帰着せしめたのである。
すなわち、交代空間Vを定義する交代型式をf:VxV→RとするとGは群としてΣで生成される←→VはR-加群としてSで生成され、かつSの任意の2元x,yに対し、xからyに至るSの元の列{X=s_0,s_1,...,s_<r-1>,s D2r=y}でf(s_i,s_<i+1>)≠0,i=0,...r-1,なるものがある。
1988年石橋はこの結果を、Rが極大イデアルAを持つ局所環で1R/A1≧3の場合に拡張した(Generation of symplectic gronps by transvections Overlocal rings with at kast 3 residue classes,J.Algebra 112,115-158(1988)。
本研究に於て、我々はこれを1R/A1=2の場合に解決した。 これによりR.Brown-S.P.Humphriesの上の結果は完全に体から局所環に拡張された事になる。