楕円ファイバー空間の構造

• Project/Area Number: 05640010
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 中山 昇 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10189079)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 斉藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70201506) ; 黒川 信重 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70114866) ; 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
• Project Period (FY): 1993
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1993)
• Budget Amount: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000); Fiscal Year 1993: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
• Keywords: 代数多様体 / 複素多様体 / 極小モデル / 楕円曲線 / ファイバー空間

Research Abstract

研究実施計画の2)について進展があった。与えられた複素多様体とその上の正規交差因子に対して、その補集合上にホッジ構造の変動を与えておく。この時、その正規交差因子上にしか特異ファイバーをもたず、しかもホッジ構造の変動が与えられたものと同形な射影的楕円ファイバー空間の双有理的同値類全体が、ある種のコホモロジー群と同一視できることを示した。このコホモロジーはエタールコホモロジーの類似で、数論的代数幾何で研究されているロッグエタールトポロジーと関係があると思われる。純代数的な場合は通常のエタールコホモロジー群で表わされていたが、一般の複素多様体の場合は解析接続の問題が生ずるため通常のコホモロジー群とは異なったものである。研究実施計画の1)に述べたが、局所的な場合この同値類が分類されている。対応するコホモロジー群はこの場合群のコホモロジーと関連して記述されることもわかった。
研究実施計画の3)については純代数的の時、底空間が2次元ならばその底空間の特異点の様子はグロスらの研究で極小モデル理論とエタールコホモロジーによりかなり解明されてきた。これは一般の2次元複素多様体の場合でも2)で得られたコホモロジー群を利用して同様の結果が得られると思われる。