| Research Abstract |
我々は、当研究課題名の下に、主として次の3分野に関して考察を進めた。
1.Poincare級数の有理性
局所環R上の有限生成加群のPoincare級数が有理関数になるためのRに関する十分条件について、これまでの結果をふまえ、更にedimR-depthR=4,length R(]CP12なる局所環に対して考察したが、十分なる結果は得られなかった。
2.Gorenstein列のunimodal性
0次元Gorenstein standard G-algebraのHilbert function即ちGorenstein列(h_0,h_1,…h_s)がsymmetricかつunimodalかという予想に対し、h_1(]CP3のとき正しいことが示されているが、我々はlinkageとreduced algebraの構成法を用いて、h_1=3のときの新たな構成法を得た。更にh_1=4のときunimodalなGorenstein列の例も得られた。尚、h_1=4のとき、non-unimodalなGorenstein列が存在するかは今後の課題である。
3.Minimal Resolution Conjecture
休k上のn次元射影空間P^n(k)におけるgeneric positionにある有限s個の点の集合が定義するideal Iの生成元の個数、Iの座標環、Iのgraded極小分解の各自由加群の生成元の個数等に関し、Ideal Generation Conjecture(I.GC),Cohen-Macaulay type Conjecture(C.M.C),Minimal Resolution Conjecture(M.R.C)があり、n(]CP3のとき三者共成立し且つ同値であることが示され、また全てのnに対し、C.M.Cが成立すること、及びM.R.Cが成立すればC.M.Cが成立することが示されている。従ってM.R.Cが成立するための十分な条件が問題になる訳であるが、これに関する若干の結果を得た。更に、n=5,d(=initial degree I)=2のとき、s=10,14の場合M.R.Cが成立するか否かが未解決であったが、我々はk加群Tor^R(I,K)に付随した行列を具体的に構成し、その階数を調べることにより、s=10,14に対しても従ってd=2ならばP^5(k)においてM.R.Cが成立することが分かった。最後に、代数体のガロア拡大のガロア加群数及びガロアコホモロジーについても考察し若干の結果を得た。
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