P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

• Project/Area Number: 05640071
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 橋本 喜一朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田谷 久雄 早稲田大学, 理工学部, 助手 (40257241) ; 村林 直樹 早稲田大学, 理工学部, 助手 (30247233) ; 足立 恒雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (60063731) ; 有馬 哲 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90063354) ; 上野 喜三雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70160190)
• Project Period (FY): 1993
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1993)
• Budget Amount: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000); Fiscal Year 1993: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
• Keywords: Hecke環 / 四元数環 / Brandt行列 / 保型形式 / theta級数 / Eichler order / L-関数 / 代数群

Research Abstract

本研究では,有理数体上の正定値四元数環のlevel(q,N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:
1.Type number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-LehnerによるinvolutionW_p(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた.
2.Brandt行列が各固有部分空間上に以下に作用するかを,数論的に記述子,Brandt行列とHecke作用素の跡を細分して比較する事によりその証明を与えた.
3.与えられたlevel(q,N)に対して,Eichler orderの族O(p,s)を二つのパラメーターp,sを用いて構成した.更に,コンピュータを用いて,qN<5000の範囲内では常に族O(p,s)がT(q,N)個のEichler orderの各同型類を尽くす事が確かめられた.
4.qN<5000の範囲内で,各(q,N)に対してT(q,N)個のEichler orderのtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.
5.これらのtheta級数のランク(階数)は,保型形式fのうちHecke作用素の固有関数で,L-関数がL(f,1)≠0をみたすものの個数に等しい事が知られている.我々の計算は,s=1に於いてL(f,s)が2位の零点を持つ保型形式fの個数を与える.その様なfのlevel qNに関する分布を調べた結果,著しい一様性を示す事が明らかになった.
6.Eichler orderに付随する他の4種類の二次形式付き格子に対してもtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった.

Research Products

• [Publications] 上野喜三雄: "Spectrum of an operatovs appears in the quantum SO(1,1)grup" Quantum and Non-Commutative Analysis. 1. 253-261 (1993)
• [Publications] 上野喜三雄: "Infinite dimensional R Matix with Completely Z Symmetry" “Quantum Groups Integrable Statistical Models and Knot Thecry". 1. 301-318 (1993)
• [Publications] 橋本喜一朗: "Shimura curues as intersection of Humbert surfaces and defining equations of QM-curves of genus two" Technical Reoport Adv.Researol Center Waseda Univ.93-4. 1-35 (1993)
• [Publications] 橋本喜一朗: "Explicit form of Quaternion modular embeddings" Technical Reoport Adv.Researol Center Waseda Univ.93-5. 1-16 (1993)
• [Publications] 村林直樹: "Mordell-Weil rank of the jacobians of the curve y^P=f(x)" ACTA ARITHMETICA. 64-4. 297-302 (1993)
• [Publications] 足立恒雄: "The Dawn of Mathematical Philosophy" Technical Reoport Adv.Research Center Waseda Univ.93-19. 1-24 (1993)
• [Publications] 有馬哲: "ミンコフスキー空間と特殊相対性" 東京図書, 208 (1993)
• [Publications] 上野喜三雄: "ソリトンがひらく新しい数学" 岩沢書店, 120 (1993)