| Project/Area Number |
05640285
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| Research Category |
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Field |
General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
内村 桂輔 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (20092835)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 達夫 東海大学, 理学部・数学科, 助教授 (20151516)
山口 勝 東海大学, 理学部・情報数理学科, 教授 (10056252)
永瀬 輝男 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (90164425)
田中 実 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (10112773)
杉田 公生 東海大学, 理学部・数学科, 教授 (60056083)
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| Project Period (FY) |
1993
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 1993)
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| Budget Amount *help |
¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
Fiscal Year 1993: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
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| Keywords | カオス / フラクタル / 力学系 / 2変数チェビシェフ多項式 / 倍角写像 |
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| Research Abstract |
2変数チェビシェフ多項式から導かれた複素平面上の力学系F_c(z)=z^2-c〓を調べた。
有名な複素平面上の力学系〓_c(z)=z^2-cは広く研究され、マンデルブロート集合、ジュリア集合については多くの結果が知られている。この〓_c(z)において、c=2の場合は、1変数チェビシェフ多項式になる。1変数チェビシェフ多項式を2変数チェビシェフ多項式に拡張して導かれたものが、上記のF_c(z)である。
〓_c(z)は一種の倍角写像であることは良く知られている。このことはF_c(z)についても同様に成り立つことがわかった。つぎに、F_c(z)について明らかになった性質を述べる。これらのことから私の定義した力学系F_c(z)は〓_c(z)の自然な拡張であることがわかった。
1.c=2の場合、k周期点の数が4^kであり、F_c(z)はSteinerのHypocycloid S上でchaoticである。もし、z〓Sならば、F^n_c(z)→∞(n→∞)となる。
2.A_c(∞)={z∈C|F^n_c(z)→∞(n→∞)}とおく。cが実数の場合、次の二つの条件が同等であることがわかった。
(1)-4〓c〓2
(2)A_c(∞)が、拡張された複素平面で考えて、単連結である。
3.c>2の時、C-A(∞)はカントール集合となる。そして、F_cはその集合上で4文字上のシフト写像とconjugateである。
これらの結果と同様なことが、力学系〓_c(z)についても成り立つことが良く知られている。我々の結果は〓_c(z)の結果の一つのアナロジーである。
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