4次元多様体上の微分構造の研究

• Project/Area Number: 05740055
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyoto Institute of Technology
• Principal Investigator: 矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 講師 (40191077)
• Project Period (FY): 1993
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1993)
• Budget Amount: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 1993: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: 多様体の分割 / 定義列 / くり込み群 / 連続極限

Research Abstract

3、4次元多様体の研究は理論物理学のゲージ理論の方法を用いる事によって、大きく進展した。筆者は4次元多様体上の微分構造の研究のため、4次元多様体の研究におえて用いられた多様体の分割理論と、数理物理からの解析的な方法との対比、関連を明確にしたいと考えた。この際の新しい観点は、格子上で場の理論を構成し、その連続極限として連続時空上での理論を構成する方法と、多様体上で定義列を定め、その極限として分割を定義する方法との関連を解明するというものであった。このため、場の理論、くり込み群、等についての参考文献の参照、関連するセミナーへの出席、等に努めた。
統計力学のくり込み群に関しては、特にphi^4-模型のくり込み変換が詳しく研究されている。phi^4-模型では摂動展開により繰り込み群の流れを近似的に2パラメーター空間上で表示することができ、それに基づいてphi^4-模型の臨界現象の解析や、phi^4-場の理論の連続極限としての構成が行なわれている。そこで第一の作業目標として、ユークリッド空間において、離散点近似が有効と思われる0次元分割で、その定義列が同一のパターンの繰り返しとなっているものをとり、その定義列の様子を反映するくり込み変換を定め、phi^4-模型の変換についての類似の議論の中で、格子や模型のもつ並進不変性からの逸脱を考慮しながら、定義列の影響を調べるという作業を現在継続しているところである。さらに、このくり込み変換についてphi^4-模型の湧き出す流れが構成できれば、これから連続極限として、分割の状況を反映する場の理論が構成されることが期待される。
これらの研究の結果を早急にまとめる所在である。