非線形フィルタリング問題における確率偏微分方程式の研究

• Project/Area Number: 05740129
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 原 重臣 京都大学, 工学部, 助手 (40218615)
• Project Period (FY): 1993
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1993)
• Budget Amount: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 1993: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: 確率微分方程式 / 非線形フィルタリング問題 / 条件付線形システム / 非ガウス型初期分布 / 相関のあるノイズ

Research Abstract

現実上の様々なシステムの中には、ノイズに乱されて不確定な挙動をし、しかもその不確定性が制御する際に無視できない場合がある。そのようなシステムは数学的には確率微分方程式を用いてモデル化される。本研究では、有限次元空間上の確率微分方程式、即ち確率常微分方程式系で記述される非線形システムに対するフィルタリング問題を考察した。観測不可能なシステム過程の観測データに基ずく最適推定値を計算することがフィルタリング問題の目標であるが、本研究では特に非線形システムに対して、有限次元の確率微分方程式を用いて定められる手続きを見いだして、最小分散推定値を厳密に計算すること、あるいは近似的に計算することについて考察した。
よく知られたKalman-Bucyフィルターの拡張として、観測不可能なシステム過程については線形であるが観測過程に関しては非線形なシステムで、初期分布がガウス分布に従わない場合に、最適推定値を厳密に計算する方法を得た。証明は以下の様にして成される。一般にシステムノイズと観測ノイズの相関があるノイズを対象としているため、まずブラウン運動の取り替えによりシステム方程式には観測ノイズが含まれない形に変換する。次にMakowskiの方法に従ってシステム過程を変換して初期分布が零になる様にする。この変換に伴って観測方程式に残る余分な項は、観測ノイズと合わせてGirsanovの定理を適用し、新たな確率測度に関してブラウン運動になる様にする。この確率測度の変更によって最適推定に現れるRadon-Nykodym密度関数も共に厳密に計算するために、システム方程式を拡張する。こうして得られたシステムにLiptzer-Shiryayevの理論を適用して観測過程に関する非線形性を処理し、結論を得る。
本科学研究費で購入した計算機は、確率微分方程式に対する数値計算、情報の入手、データの整理などに利用された。