q-Selberg積分の研究

• Project/Area Number: 06640251
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: 解析学
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 金子 譲一 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (10194911)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中屋敷 厚 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (10237456) ; 杉田 洋 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (50192125) ; 山口 忠志 九州大学, 大学院数理学研究科, 教授 (80037225) ; 加藤 久子 九州大学, 大学院数理学研究科, 教授 (00038457) ; 中尾 慎宏 九州大学, 大学院数理学研究科, 教授 (10037278)
• Project Period (FY): 1994
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1994)
• Budget Amount: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 1994: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000)
• Keywords: Macdonal多項式 / q-Selberg積分 / q-超幾何関数 / q-二項定理

Research Abstract

Macdonaldによって導入されたいわゆるMacdonald 多項式は、既に各方面でその重要性を認識されつつあるが、本研究ではとくに、q-Selberg積分、q-超幾何関数との関連を考察した。具体的には、以下のとおり、
1.Macdonald多項式に付随したq-超幾何関数を定義した。これは、以前に定義した。Jack多項式に付随した超幾何関数の自然なq-類似になっており、また1変数のときは、通常のq-超幾何になっている。さらにしかるべくパラメータを制限するとき、このq-超幾何は、q-Selberg積分の級数展開を与える。両者が同一のq-差分方程式をみたすことから導びかれるのである。このことの福産物として、Macdonald多項式のJackson積分に関するKadcllの定理(の一般化)が証明される。また、Forresterによるある種のconstant terw identity予想が証明される。これは最近S.CooperがZeilbergerによる組み合わせ論的方法を用いて示したものである。
2.S.MilneによるSchur多項式に関連したJacobi三重積公式、及びRamanujan14型のq-総和公式をMacdonald多項式の場合へ拡張した。1のq-超幾何に関するq-二項定理を用いる。またこのq-二項定理自身Macdonald多項式の特殊値のexplicit formslaと同値であるが、q-差分方程式を用いる独立な証明を与えることができた。理念的には大分簡単な証明になっている。
以上の結果は現在投稿中である。