境界条件をもつ拡散方程式と拡散過程の研究

• Project/Area Number: 06640300
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 土屋 正明 金沢大学, 教養部, 教授 (50016101)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 半沢 英一 金沢大学, 教養部, 助教授 (80142686) ; 勘甚 裕一 金沢大学, 教養部, 助教授 (50091674) ; 喜多 通武 金沢大学, 教養部, 教授 (50053707) ; 北原 晴夫 金沢大学, 教養部, 教授 (60007119)
• Project Period (FY): 1994
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1994)
• Budget Amount: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000); Fiscal Year 1994: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
• Keywords: 拡散方程式 / 拡散過程 / 斜微分問題 / 基本解 / parametrix method / L^2‐cohomology / 直交多項式 / 超幾何関数

Research Abstract

本研究課題について以下の成果を得た。
1.リーマン空間内の領域における拡散方程式の斜微分問題を係数のヘルダー連続性の条件の下で考察して,対応する拡散過程の一意性および非斉次方程式の解のFeynmanKac型の表現を得た.これらは境界に涌き出しがあるときでも成立する.
上記の拡散方程式の基本解の新たな構成法を得た.それによって,非斉次方程式の解の基本解による積分表現を境界条件が非斉次のときも得ることができた.
基本解の構成は確率論的な考察によって得られたパラメトリックスの具体的な表現を基にparametrix methodを二度適用して構成する.この構成に基づき2の結果が得られ,さらに基本解の正値性も得られる.
上記1,2および3を得るときには,新しい幾何学的な考察を必要とした.すなわち,1においては,与えられたリーマン計量のsmoothingについての考察,2,3においては,C^<γ+α>級のmanifold pair(γ:正整数,0<α<1)に適合したC^∞‐構造が入ることを証明し,必要な滑らかさをもった管状近傍の存在を示した.
関連して、リーマン空間上のL_2‐cohomologyについての考察および直交多項式についての調和解析を行い正解を得た.

Research Products

• [Publications] 土屋正明: "On the oblique derivative problem for diffusion processes and diffusion equations with Holder continuous coefficients" Trans.Amer.Math.Soc.346. 257-281 (1994)
• [Publications] 土屋正明: "Supplement to the paper“On the oblique derivative problem for diffusion processes and diffusion equations with Holder・・・・・・"" Ann.Sci.Kanazawa Univ.31. 1-52 (1994)
• [Publications] 北原晴夫: "Some remarks on basic L^2‐cohomology" Proc.VII Symposium on Analysis Geometry on Foliated Manifolds. (to apper).
• [Publications] 喜多通武: "On Vanishing of the twisted rational de Rham cohomology associated with hypergeometric functions" Nagoya Math.J.135. 55-85 (1994)
• [Publications] 勘甚裕一: "Pointwise convergence of Hermite‐Fujer interpolation of higher order for Freud weights" Tohoku Math.J.46. 181-206 (1994)
• [Publications] 勘甚裕一: "The Hardy‐Littlewood theorem on fractional integration for Laguerre series" Proc.Amer.Math.Soc.(to appear).