| Research Abstract |
有限群の表現論の研究において,いわゆるAuslander-Reitenの理論が応用されだした.この理論は多元環の表現論を研究するときに大きな威力を発揮してくる.多元環は表現論的には有限表現型,tame表現型,wild表現型とに大別されるが,Auslander-Reitenの理論を駆使することにより,有限表現型の多元環についてはほぼ満足のいく結果が得られており,tame表現型の多元環についてもかなりの進展がみられている.そして現在は,wild表現型の多元環についての研究の端緒が見い出されようとしている段階である.ところで,多元環の中でも重要な位置を占める群多元環は,多くの場合,wild表現型であり,その表現の研究は注目されている.
Auslander-Reitenの理論において,まず着目すべきことは,Auslander-Reiten quiverと呼ばれる有向グラフである.このAuslander-Reiten quiverは,直既約加群を点とし,既約写像を矢とするものであるが,このグラフを考察することにより,多元環の研究が進められる.ところで最近,K.Erdmannによって,群多元環のAuslander-Reiten quiverについて重要な結果が得られた.それは,群多元環がwildであればAuslander-Reiten quiverの連結成分(AR-component)の形は‘tube'か‘ZA_∞'に限るという事実である.本研究においては,このErdmannの重要な結果を踏まえて,有限群の表現の研究を押し進めた.特に既約加群のAR-componentの中における位置に注目して,既約加群と主直既約加群との関係を考察した.まだ満足のいく結果には遠いが,しかしある条件の下では既約加群はAR-componentの中で‘端'に位置することが分かった.今後は,もっと一般的に既約加群のAR-componentの中における位置について考察を進めることが課題とされる.
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