楕円曲線の算術的理論の研究

• Project/Area Number: 06740040
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 青木 昇 立教大学, 理学部, 講師 (30183130)
• Project Period (FY): 1994
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1994)
• Budget Amount: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 1994: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: ヤコビ和 / ガウス和 / 円分体 / アーベル多様体 / 楕円曲線 / 虚数乗法論

Research Abstract

本研究では、代数体上定義された、虚数乗法を持つアーベル多様体の数論的性質を研究した。まず第一に、定義体が有理数体で虚数乗法の体が円分体であるものを考察した。この場合、具体的に知られている例として、フェルマ-曲線のヤコビ多様体が挙げられるが、そのハッセ=ヴェイユL関数は、ある特別なヤコビ和から得られるヘッケ量指標のL関数で表わされる。そこで、より一般のヤコビ和そのものの数論的性質を調べることが重要になってくる。論文"Abelian fields generated by a Jacobi sum"において、ひとつのヤコビ和の生成されるアーベル体の特徴づけを行ない、いくつかの場合においてそのアーベル体を決定することに成功した。それらの結果は、この問題を最初に提起した小野の論文の結果の拡張を与えるものである。
次に、論文"Tosion points on abelian fields with complex multiplication"において、虚数乗法を持つアーベル多様体のモ-デル=ヴェイユ群の有限部分の大きさを調べた。この方向では、シルヴァーバーグの評価式があるが、それは一般の場合に適用可能だが最良のものではないことがわかっていた。そこで、考えているアーベル多様体の定義体が虚数乗法の体の反射体を含まないという仮定の下で考えてみた。この場合モ-デル=ヴェイユ群の有限部分の大きさは、定義体と虚数乗法の体の反射体の合成体に含まれる1の巾根の数を用いたある定数でおさえることができることが判った。特に、有理数体上の楕円曲線の場合にその結果を適用すると、古典的な結果であるオルソンの評価式を得る。更に、これはいくつかの例においては最良のものであることも確かめられた。