| Research Abstract |
本研究の目的は走化性を伴うバクテリヤの運動を記述するモデルとしてKellとSegelによって提唱された偏微分方程式系の解の性質を調べる事であった.以後,この方程式系をK-S系と呼ぶ事にする.
本研究と関連する資料を収集し検討した結果,球対称な領域における単純化されたK-S系の球対称な解が最も調べ易く,その解の振る舞いとK-S系の解の振る舞いが類似していると考え,前者に付いて調べた.
本研究の目的は,解が時間大域的に存在する例と有限時間で爆発する例をみつけることであった.今年度の研究は,化学物質の濃度とバクテリアの反応の強さとの関係を表す感度関数(sensitivity function)と解の性質に注目して上述の問題を考えた,ここでsは化学物質の濃度を表す.特に,感度関数がs^p(p>1)の場合とlog(s)の場合を考えた.それに関して以下のような結果を得た.
領域の次元が1の場合は両方の場合ともにバクテリヤの初期分布によらず解が時間大域的に存在する.
領域の次元が3以上の場合は両方の場合ともにバクテリヤの初期分布が十分に原点に集中していれば有限時刻で解の爆発が起こる.
領域が2次元の場合に付いては,前者の場合はバクテリヤの初期分布が十分に原点に集中していれば有限時刻で解の爆発が起こり,後者の場合は領域が十分小さければどんな初期分布であっても解は時間大域的に存在する.
上記の結果により,"次元か上がるにつれて解の爆発が起こり易くなっている事"そして"解の性質は感度関数の形によって変わる事,特に領域の次元が2の時が最も顕著である事"が分かった.
もう一つの研究目的は,解が時間大域的に存在するときの解の性質を調べる事であったが,この問題に関しては上に述べた時間大域解が時刻無限大においても有界になっている事が分かった.
今後の課題としては,上記の感度関数以外の物に対する解の振る舞いを調べる事,時間大域的な解でなおかつ時刻無限大において有界でない解を探す事等が挙げられる.
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