Riemann多様体の測地流と無限遠

• Project/Area Number: 07210254
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: 菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 高嶋 恵三 大阪教育大学, 教育学部, 講師 (00137184)
• Project Period (FY): 1995
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1995)
• Budget Amount: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000); Fiscal Year 1995: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
• Keywords: リーマン多様体 / アレクサンドロフ空間 / 理想境界 / ブ-ゼマン関数

Research Abstract

本研究では,完備Riemann多様体とAlexandrov空間の無限遠の分析を行った。無限遠の定義にはrayの同値類として定義する方法が一般的であるが、これはHadamard多様体に対してのみ有効で、その他の場合にはどのような定義が本質的であるのか模索されていた。その中で、本研究では、Busemann関数の分析から、Gromovの理想境界が無限遠の定義として有効であるとの結論に至った。Riemann多様体の理想境界は、多様体上の連続関数C(M)の定数値関数Rによる同値類集合C(M)/Rの部分集合として定義されている。この定義の最大の弱点は幾何学的な意味付けが不明確な点にあった。本研究では、各rayに対して定義されるBusemann関数を理想境界上の点とみなし、それと前田の定数の間の関係式を証明する事によってGromovの理想境界に幾何学的な意味付けを与えた。
本研究の主要結果は次の定理である。
定理Mは完備Riemann多様体またはAlexandrov空間とする。もしMの曲率が非負なら、理想境界上の点とみなした二つのBusemann関数の差は前田の定数の1/8以下である。
また、この系として、代表者が以前証明した、前田の定数と極の間の関係式が得られる。さらに、曲率が下に有界な場合にも同様の結果が成り立つ事も示せた。また、幾つかの具体的な空間にたいして無限遠からの最短測地流を決定する事により、理想境界を具体的に決定する事にも成功した。これらの例においては、理想境界の直径はBusemann関数の間の差で実現されている事も判る。これが、一般の場合に成り立つかは否かは今後の興味ある課題である。