放物的ヒッグス束とそのモヂュラス多様体

• Project/Area Number: 07740027
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 横川 光司 大阪大学, 理学部, 助手 (40240189)
• Project Period (FY): 1995
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1995)
• Budget Amount: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 1995: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 代数的ベクトル束 / モジュライ / 放物的ベクトル束

Research Abstract

本研究では、まずリーマン面上の放物的ヒッグス束のモヂュラス多様体を階数が3以上の場合について研究した。階数2の場合には既にモヂュラス多様体が重みと呼ばれるパラメーターに無関係に微分同相であることが解っているが階数3以上の場合も放物的対と呼ばれる放物的ヒッグス束を含むもののモヂュラス多様体が重みに関係なく同じベッチ数を持つことが解った。また放物的対の空間からあるアファイン空間へのスムースな写像があり一つのファイバーが放物的ヒッグス束のモヂュラス多様体になっていることが解った。これによりこのファイブレイションがスムースな変形になっていることが期待される。それがわかれば当初の目的は達成される。
第二にモヂュラス多様体がほとんどの放物的構造については有理的であることを証明した。どんな放物的構造についても有理的であることが予想されるが問題は通常のベクトル束の場合に帰着される。またこの研究を通じて放物的線形束をテンソル積するという操作によってモヂュラス多様体間のヘッケ対応を解釈できることが解った。
さらに代数曲面上の放物的ベクトル束についてそのモヂュラス多様体の次元や非特異性を具体的な幾つかの曲面、放物的因子について調べた。この場合に一つの曲面を固定し放物的因子をいろいろ取り替えた場合にモヂュラス多様体がどう変化するかを調べていくと通常のベクトル束の場合とも関連がでてくるのが推測された。現在は次元などをチャーン類などを使ってある程度一般的な場合での表示できるよう計算している。