実特異点論

• Project/Area Number: 07740056
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: 福井 敏純 埼玉大学, 理学部, 助教授 (90218892)
• Project Period (FY): 1995
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1995)
• Budget Amount: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 1995: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 特異点 / modefied analytic / 重み付き斉次多項式 / toric modefication / 安定摂動 / Thom-Boardman特異点 / Cohen-Macaulay環

Research Abstract

本年度の成果は以下の通り.実解析関数芽の同値関係でblow up等のproper modificationで持ち上げたら解析的に同値になるような位相同型芽を用いて分類する事を考える。このような同値関係を考えるのは関数の分類の見地から妥当性がありますがここで次のような事が問題となる。与えられた関数芽族が上の意味で自明となるかどうかを判断する事。言い替えれば自明化を構成する事と十分多くの上記の同値類の不変量を構成する事である。不変量については例えば重複度がそうである事が示されこの証明のアイデアを事を一般化する事により多くのmodefied analytic同値の不変量を定義することができます。このことはpreprint“Seeking invariants for brow-analytic equvalence"に纏めてあります。自明化の構成については、孤立特異点をもつ重み付き斉次多項式の重みを変えない族は上記の意味での自明化を許容するだろうと予想し現在シドニー大学のL. Paunescu氏と共同で研究中です。その結果考えている族があるよい性質をモツtoric modification で特異点解消されるなら正しいことが判りました。このよい性質をもつtoric modeficationで特異点解消されない例があるかどうかは今のところ不明です。現在この定理を改良すべく努力しています。
また写像芽の安定摂動に表れる特異点の個数に付いても考察しました。その結果そこにでてくるThem-Boardman特異点の個数は元の写像芽からきまるある代数のベクトル空間としての次元で抑えられる事を示しよう条件の下では複素化したときに等号が成立する事を示しました。このことは数理研での短期共同研究「実特異点の幾何学時様相」にて報告し、その成果は講求録の形で利用する事ができます。理論的にもっとも大切な部分はある特異点の表れ方を支配する環がある条件の元にCohen-Macaulayである事を示す部分です。なおこの理論は以降も進展し、Cohen-Macaulayの判定ができる部分が若干増えています。さらに現在までの計算を総合してみるとある程度Cohen-Macaulay性の判定条件の全体像を予想できる様になってきたといえるでしょう。