高次元代数多様体の双正則幾何

Research Project

Project/Area Number	08640029
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Single-year Grants
Section	一般
Research Field	Algebra
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	宮岡洋一京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50101077)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	中山昇京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10189079) 齊藤恭司京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20012445) 森重文京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00093328)
Project Period (FY)	1996
Project Status	Completed (Fiscal Year 1996)
Budget Amount *help	¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000) Fiscal Year 1996: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000)
Keywords	高次元代数多様 / 双正則幾何 / ベクトル束 / 多様体上の曲線 / Lang予想 / 極小モデル / 平坦座標 / 飯高予想
Research Abstract	宮岡は、ベクトル束による代数多様体の研究の視点から、主として代数多様体上の曲線を研究した。具体的には、高次元多様体の接束の曲線への制限や、対数的特異性をもつ曲面の余接束のQベクトル部分束を精密に調べることにより、以下のような新知見を得た。 (1)射影空間の数値的特徴付け。これは現在知られているどの結果よりも強力なものである。(2)ある種の数値的条件をみたす一般型曲面X上の曲線Cの次数が、Cの幾何種数とXのChern数によって具体的に上から評価できること(effectiveな有界性)。(3)無条件では、(2)の結果の反例の候補があること(本当に反例なら、一般型多様体上の有理曲線に対するLang予想が成立しないことになる)。また以上のような研究と平行して、高次元代数幾何についての著書を、DMV-Seminarシリーズの一冊としてTh.Peternellとともに執筆した。森は、4次元以上での極小モデル理論の基礎を固めるため、商特異点の非特異モデルを研究した。Clemens,Roan,Batyrevらとの共同研究は、特に実多いものであり、将来の発展につながるものとなることが期待される。斎藤は、自己の創唱した平坦座標に付随する無限次元リー環・モジュラー関数を勢力的に研究し、Gritzenko,Nikulinらと、数研で定期的にセミナーを行った。膨大なその成果は、整数論や理論物理といった広い分野に影響をもたらしつつある。中山は、楕円ファイバー空間を系統的に研究し、そこで得られたコホモロジー的手法と知見に基づき、普遍被覆が複素空間となるような代数多様体は、アーベル多様体のエタール商しかない、という飯高の予想を肯定的に解決した。以上4名の共同活動として、上記の諸テーマと密接に関連する話題であるCalabi-Yau多様体と鏡像対称性について共同セミナーを組織し、情報収集にあたった。