楕円ルート系と保形形式

• Project/Area Number: 08740023
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 佐竹 郁夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (80243161)
• Project Period (FY): 1996
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1996)
• Budget Amount: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 1996: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 単純楕円型特異点 / 周期写像 / ヤコビ形式 / テ-タ級数 / アフィンリー環

Research Abstract

単純楕円型特異点の普遍変形に対して定義される周期写像の逆写像を記述する問題を一貫して扱っている。これに対しての基本的なアプローチは、普遍変形の空間に入るフラット構造を利用して、フラット構造に付随する保型関数(以下ではフラット不変式と呼ぶ)を求めることである。フラット不変式は周期領域上で、ある種の非線形偏微分方程式系を満たすことで定義されるので、これを満たす関数を構成するという問題となる。これに対して、Wirthmuller氏による一般化されたヤコビ形式の理論を用いて、ヤコビ形式の満たす非線形偏微分方程式系を導出し、これから、フラット不変式とヤコビ形式の関係を記述することにより、D4型、E6型の場合に結果が得られた。E7型の場合でも同様の計算が可能であるが、対応するリー群の表現のテンソル積分解の具体的な結果を用いるため、具体的に実行は困難であり、E8型の場合には、必要なヤコビ形式の結果も得られていないので、この方法では、結果の拡張は困難であった。そこで、フラット構造の上にさらに定義される構造(特異点の危点集合の関数環の可積分構造)を用いると、フラット不変式の満たす線形微分方程式が得られ、これにより、ヤコビ形式を用いることなく、E6,E7,E8型で逆転写をテ-タ級数やアフィンリー環の指標で記述できた。この結果から、E型アフィンリー環の指標の空間に作用するラプラシアンを指標の成す環の生成元で書くことができ、一方、指標自体はワイルの分母を用いてラプラシアンで特徴づけられるから、指標のなす環において、環としての生成元と、加群としての生成元の関係が記述できる。これは、表現のテンソル積分解の記述を意味している。