Grothendieck群に値を持つ Hilbert関数の研究

Research Project

Project/Area Number	09740007
Research Category	Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Algebra
Research Institution	Chiba University
Principal Investigator	西田康二千葉大学, 大学院・自然科学研究科, 助手 (60228187)
Project Period (FY)	1997 – 1998
Project Status	Completed (Fiscal Year 1998)
Budget Amount *help	¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000) Fiscal Year 1998: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000) Fiscal Year 1997: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords	局所環 / 重複度 / 次数付き環
Research Abstract	本研究の目的は、可換なネーター環鳥R_0上の次数付き環R=Σ_<n【greater than or equal】0>R_nが与えられたときに、R_0上の有限生成加群のなすグロタンディーク群K_0(R_0)に値をもつヒルベルト関数H_R:Z→K_0(R_0)を定義し、R_0がアルティン環の場合に展開されていた従来の議論を一般化しようというもあてあった。勿論、H_Rはn∈Zに対してR_nをR_0加群と見たときの類[R_0]∈K_0(R_0)を対応させる。するとK_0(R_0)の元を係にもつベキ級数P(R,n):=H_R(n)t^n(tは不定元)が定まり、RがR_0上x_1,…,x_r(各x_iは斉次元でdegx_i=d_i)で生成されていればP(R,t)=(ξ_0+ξ_1t+…+ξ_st^s)II^r_<i=1>(1-t^<di>)(0【less than or equal】s∈Z,ξ_0,…,ξ_s∈K_0(R_0))という表示が可能である。従って特にd_1=…=d_r=1の場合にはn>>0に対して Σ^^n__<m=0>H_R(m)=Σ__i(^<n+i>_i)・e_i が成り立つ様にe_0,e_1,…∈K_0(R_0)をとれる。Rとして局所環AのイデアルIに附随する次数付き環G(I)をとって上記の議論を適用すれば、Iのanalytic spreadと呼ばれる不変量をlとしたとき、任意のi>lに対してe_i=0となること、さらにe_lが従来の重複度の概念を自然に一般化したものであることがわかった。又、この議論は、非可換な A-代数ΛでA上の加群として有限生成なものに対しても、AのイデアルIをとって関数Z→K_0(Λ/IΛ)(n→[I^nΛ/I^<n+1>Λ])を考えることにより拡張可能である。