二次体上定義された楕円曲線の数論の研究

Research Project

Project/Area Number	09740012
Research Category	Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Algebra
Research Institution	The University of Electro-Communications
Principal Investigator	木田雅成電気通信大学, 電気通信学部, 講師 (20272057)
Project Period (FY)	1998
Project Status	Completed (Fiscal Year 1998)
Budget Amount *help	¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000) Fiscal Year 1998: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000) Fiscal Year 1997: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords	楕円曲線 / 二次体 / reduction / 等分方程式 / 還元写像 / good reduction / Q-curve / Laskaのアルゴリズム
Research Abstract	二次体上で定義された楕円曲線の数論を研究し次の結果を得た。 1. 楕円曲線の整数点に関する新しい結果や、最近進展の著しい類体(アーベル拡大体)の計算機による構成(Computational class field theory)を使うことによって、二次体上のすべての素点でgood reductionをもつような楕円曲線の構成法を改良し、modular不変量が与えられたときに、その不変量をもつ楕円曲線ですべての素点でgood reducutionを持つ楕円曲線をよりはやく計算できるようにした。これを実際の計算に適用し、虚二次体上定義された楕円曲線で、有利整数の不変量をもつものを系統的に計算した。虚二次体上でこのような楕円曲線が実二次体の場合に比べて非常に少ないことがわかった。 2. 楕円曲線の等分方程式を計算するprogramをKASH上で実装し、楕円曲線の等分点の生成する体の分岐状態についての実験をおこなった。特にすべての素点でgood reductionをもつ楕円曲線の等分点の生成する体の最大不分岐部分拡大の大きさについての実験をおこなった。 3. 楕円曲線の整数点を求める上で重要な関数である楕円対数の計算に関するprogramをKASH上で実装した。これらの、結果の一部については、99年7月に甲府でひらかれた代数学シンポジウムと99年8月-9月にAustriaのGrazでおこなわれた整数論の国際研究集会で報告をおこなった。