数値解析・数式処理を用いた非線形現象の研究

• Project/Area Number: 09740163
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Shibaura Institute of Technology
• Principal Investigator: 井戸川 知之 芝浦工業大学, システム工学部, 講師 (40257225)
• Project Period (FY): 1997 – 1998
• Project Status: Completed (Fiscal Year 1998)
• Budget Amount: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000); Fiscal Year 1998: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000); Fiscal Year 1997: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
• Keywords: 数値解析 / 数式処理 / 非線形現象 / 曲線短縮方程式 / Soboler-Poincareの不等式 / 2点境界値問題 / 非線形発展方程式

Research Abstract

本研究は、非線形現象の数理解析に関する電子計算機の多面的な応用を主眼とした。従来の数値解析、数式処理手法の枠にとらわれずに、非線形問題の解析に有用な新たな道具を創ることを最終的な目標としているが、ここでは具体的な問題を扱い、その問題に必要とされる技法の研究を通して方向性を探ることにした。
当初は曲線短縮方程式と呼ばれる非線形発展方程式を対象として研究を進めたが、これと並行してSobolev-Poincareの不等式に関連した2点境界値問題について扱い、現時点では後者に対して新たな知見を得ることに成功している。この研究は早稲田大学理工学部の大谷光春教授と共同で進めたもので、対象とした方程式は2つのパラメータを含む非線形常微分方程式である。これらのパラメータを変えることにより、方程式の解がどのように変化するかを調べたが、結果を解析的に示す前に、数値実験を通して解の振る舞いについて予測を立てることを行った。得られた結果については、口頭では発表したが、近いうちに論文としても発表する予定である。
一方、具体的な問題を離れ、現在自然科学・工学の各分野で扱われている非線形問題に対し、共通して必要とされている解析手法について調べるため、平成9年度と10年度に各1回ずつ、主に若手を中心とした研究会を開催した(早稲田大学理工学総合研究センターとの共同開催)。これにより、それぞれ異なる分野で同じ解析手法が使われていること、しかし、これらには未だ研究の余地が大きいことが共通認識として得られた。
現時点では、数学上の成果はいくつか得られたものの、新たな道具を創るという目標には程遠い状態である。これからさらに様々な問題を取り上げ、この目標に向って研究を進めていくつもりである。