保型形式のフーリエ展開の基礎付け及び,数論への応用,保型形式の空間の構造解明

Research Project

Project/Area Number	10740013
Research Category	Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Algebra
Research Institution	Okayama University
Principal Investigator	石川佳弘岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助手 (50294400)
Project Period (FY)	1998 – 1999
Project Status	Completed (Fiscal Year 1999)
Budget Amount *help	¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000) Fiscal Year 1999: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000) Fiscal Year 1998: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords	保型形式 / フーリエ・ヤコビ展開 / ホイタッカー関数 / ホイタッカー開教
Research Abstract	1.SU(2,1)の標準表現,SU(3,1)の離散系列表現に付随する一般化ホイタッカー関数の明示公式及び一意性定理は、昨年までに筆者により得られていた。本年度の研究計画は、 (A)この結果の標準表現以外の表現及び、SU(n,1)の場合への拡張 (B)SU(2,1)保型形式のフーリエ展開の明示公式の数論への応用であった。 2.(A)については、n=2,3の場合に、任意のコホモロジカルな表現に対し一般化ホイタッカー関数を求めた。これはテータリフトの問題と関連しており将来の研究に有用な基礎的関数を提供している。また課題(B)に於ても不可欠な役割を果たした。一般のnの場合への拡張については、離散系列表現に対して一般化ホイタッカー関数の満たす微分差分方程式系を導出した。差分条件の「端」から得られる関数と系全体の両立条件の確認及び一意性成立の十分条件の同定は今後の課題である。また、n【greater than or equal】4の場合にコホモロジ力ルな表現の一般化ホイタッカー関数の「端」での明示公式は、準備されている。残された表現:主系列表現については、その一般化ホイタッカー関数が実解析的アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開に不可欠であるため、近い将来に研究を完成したい。 3.(B)については、標準L-関数のγ-因子に関係するRankin-Selberg型積分の計算を行った。ここで(A)の結果が使われている。また、SU(1,1)からのテータリフトによるSU(2,1)の[大きな」離散系列表現に属する保型形式の実例構成については、J.-S.Li氏の論文を検討することにより、テータ積分核の満たすべき条件を明確にした。これを満たす積分核を構成するための試験関数を捜すには、Rallis,Schiffmann両氏の1980年のモノグラフの中で使われているハイパボロイド上での微分方程式の具体的研究が有効であることが判った。実際の計算には良い座標を見つけることが肝要であり、まだ時間が掛る。構成した保型形式に対して、フーリエ係数の数論性を研究したい。