多元環の整数論

Research Project

Project/Area Number	11740012
Research Category	Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	Algebra
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	山崎愛一京都大学, 総合人間学部, 助教授 (10283590)
Project Period (FY)	1999 – 2000
Project Status	Completed (Fiscal Year 2000)
Budget Amount *help	¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000) Fiscal Year 2000: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000) Fiscal Year 1999: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords	division algebra / 強近似定理 / 係数体の一般化 / 多元環 / 素因数分解
Research Abstract	Dedekind domain Rの商体K上のcentral division algebra Dについて、Eichler型の強近似定理を一般化することを従来からの目標にしている。係数体が一般のときは代数関数体の場合でも、SL_1(D)についてEichler cond.がみたされても強近似性が成り立たない例に気づいた。しかし、SL_1(D)の代わりに交換子群[D^X,D^X]を考えたら、Eichler型強近似定理の一般化はなお可能性がある。 Kが任意係数の代数関数体の場合でも、Eichler型強近似定理の逆、すなわち「強近似性⇒Eichler cond.」は一般に成立する。証明のアウトラインは、「Eichler cond.の否定⇒[D^X,D^X]は(イデール群の中で)離散的⇒強近似性の否定]となっている。Eichler型強近似定理が一般に成立するためには「この二つの⇒がどちらも逆も正しい」ことを要する。言い換えればどちらかでも反例が見つかれば、それは順定理の反例にもなる。このように強近似定理の一般化は二つの部分に分けられて、それぞれが独立なconjectureであることが分かる。特に後半のformulationは、Dedekind domainの商体の場合にも一般化できる,問題をこのように整理できたにも今年度の進展である。またnon-central単純性に基づく議論によって、三つの強近似性(a)〜(a")の同値性の証明に成功した。 (a)[D^X,D^X]は[D^X_A,D^X_A]の中でdense (a')[D^X_A,D^X_A]はD^Xの閉包に含まれる。 (a'')[D^X_A,D^X_A]はR^X_AD^Xの閉包に含まれる。 (a''')[D^X_A,D^X_A]はR^X_AD^Xの閉包に含まれる。以上の成果は論文の形で発表すべく原稿執筆中である。