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ファノ多様体とその上の有理曲線の幾何学

Research Project

Project/Area Number 11J05317
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Algebra
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

渡辺 究  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2011 – 2013
Project Status Completed (Fiscal Year 2011)
Budget Amount *help
¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2011: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
KeywordsCampana-Peternell予想 / ファノ多様体 / 有理等質多様体 / 有理曲線 / P1束
Research Abstract

研究課題に沿って,ファノ多様体上の有理曲線の研究,特に,Campana-Peternell予想に関する研究を行った.ここで,Campana-Peternell予想とは,「ネフな接束を持つファノ多様体Xは有理等質多様体である」という予想である.この予想は森重文氏により解決された豊富な接束をもつ多様体に関するハーツホーン予想の一般化であり,Xの次元が4以下であるときに成り立つことが知られている.4次元以下で最も難しい場合は,Xがピカール数1の4次元ファノ多様体で反標準次数が3となる有理曲線を含む場合である.この場合は,J.M.Hwang氏とN.Mok氏により解決された.今年度の研究成果として,Hwang-Mokの結果の一般化を与えたことが挙げられる.実際,ピカール数1の複素射影多様体上のP1束のうち,(P1束に付随する自然な射影とは異なる)相対次元1の滑らかな射を持つようなものを分類した.分類結果により,上記の仮定を満たすP1束は3次元以上では3種類しかないことが分かる.さらにそれらはA2型,B2型もしくはG2型の旗多様体であり,特に全て有理等質多様体である.この結果の系としてHwang-Mokの結果を得ることが出来る.また,この結果はMunoz,Occhetta,Sola Conde三氏の結果の一般化も与えている.他方,Campana-Peternell予想の具体的な場合の研究も行った.具体的には,Xを直線で覆われるように射影空間に埋め込むことが可能で,尚かつファノ指数が大きい場合にCampana-Peternell予想を考えた.このとき,X上の直線のヒルベルトスキームとその普遍族の性質を調べた.こちらに関しては,現在も引き続き研究を行っている.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

ドイツのフライブルク大学へ二ヶ月半滞在することにより、ホストのKebekus氏とVMRTや一般の2点を結ぶ有理曲線の鎖の最小本数に関する議論を行うことが出来た。また、有理曲線の議論を応用することにより、当研究の最大の目的であるCampana-Peternell予想に関連する結果を得ることが出来た。この結果はある種の有理等質多様体の特徴付けを与えるものである。この結果は現在学術雑誌へ投稿中である。

Strategy for Future Research Activity

今年度、Campana-Peternell予想(以下、CP予想)に関連する結果を得たことにより、今後は特にその周辺の問題に取り組みたいと考えている。CP予想は、ファノ多様体Xの接束のネフ性が等質性を導くことを期待するものであるが、実際にCP予想の成立が確認されている場合は全て、X上の極小有理曲線のモジュライ空間とその普遍晦との関係のみを用いたものである。その結果、Xへの滑らかな射をもつP1束の構造研究に帰着される。今年度得た結果はP1束の構造研究を行ったものであり、CP予想より一般的な観点からの研究と言えよう。このように、今後はCP予想より広い範疇で問題を考えたいと思っている。

Report

(1 results)
  • 2011 Annual Research Report
  • Research Products

    (14 results)

All 2012 2011 Other

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (10 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] On projective manifolds swept out by cubic varieties2012

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Journal Title

      International Journal of Mathematics

      Volume: (掲載決定) Issue: 07 Pages: 1250058-1250058

    • DOI

      10.1142/s0129167x12500589

    • Related Report
      2011 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A bound of lengths of chains of minimal rational curves on Fano manifolds of Picard number 12011

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Journal Title

      Journal of Algebra

      Volume: 337 Issue: 1 Pages: 224-232

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2011.05.002

    • Related Report
      2011 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Classification of embedded projective manifolds swept out by rational homogeneous varieties of codimension one2011

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Journal Title

      Pacific Journal of Mathematics

      Volume: 252 Issue: 2 Pages: 493-497

    • DOI

      10.2140/pjm.2011.252.493

    • Related Report
      2011 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] P1-bundles over projective manifolds and Campana-Peternell conjecture of dimension 42012

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Organizer
      Radon Group Seminar
    • Place of Presentation
      Austria, Linz(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-10
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] P1-bundles over projective manifolds and Campana-Peternell conjecture of dimension 42012

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Organizer
      Seminario de Geometria Algebraica
    • Place of Presentation
      Spain, Madrid(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-02
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] P1-bundles over projective manifolds admitting another smooth morphism2012

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Organizer
      Joint Seminar in Algebraic and Complex Geometry
    • Place of Presentation
      France, Strasbourg(招待講演)
    • Year and Date
      2012-01-23
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] On projective manifolds swept out by cubic varieties2011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      東大数理代数幾何セミナー
    • Place of Presentation
      東京大学、渋谷(招待講演)
    • Year and Date
      2011-11-14
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] On projective manifolds swept out by high dimensional cubic varieties2011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Place of Presentation
      信州大学、長野
    • Year and Date
      2011-09-30
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Classification of embedded projective manifolds swept out by rational homogeneous varieties of codimension one2011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      信州大学、長野
    • Year and Date
      2011-09-30
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Lengths of chains of minimal rational curves on Fano manifolds2011

    • Author(s)
      Kiwamu Watanabe
    • Organizer
      Geometrie Algebrique en Liberte
    • Place of Presentation
      Berlin Germany
    • Year and Date
      2011-07-22
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Lengths of chains of minimal rational curves on Fano manifolds of Picard number 12011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      代数幾何学の学校---極小モデルと端射線
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所、京都(招待講演)
    • Year and Date
      2011-06-16
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] On projective manifolds swept out by high dimensional cubic varieties2011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      代数幾何学シンポジウム-佐渡-
    • Place of Presentation
      佐渡島開発総合センター、佐渡(招待講演)
    • Year and Date
      2011-06-02
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Presentation] Variety of minimal rational tangents and its applications2011

    • Author(s)
      渡辺究
    • Organizer
      高知代数幾何セミナー
    • Place of Presentation
      高知大学、高知(招待講演)
    • Related Report
      2011 Annual Research Report
  • [Remarks]

    • URL

      http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~watanabe/

    • Related Report
      2011 Annual Research Report

URL: 

Published: 2011-12-12   Modified: 2024-03-26  

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