有限群の群代数上の自明なソースをもつ加群

Research Project

Project/Area Number	12J02274
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Research Field	Algebra
Research Institution	Chiba University
Principal Investigator	髙橋萌子 (2013-2014) 千葉大学, 特別研究員(PD) 高橋萌子 (2012) 千葉大学, 大学院・理学研究科, 特別研究員(DC2)
Project Period (FY)	2012 – 2015-03-31
Project Status	Declined (Fiscal Year 2014)
Budget Amount *help	¥3,270,781 (Direct Cost: ¥2,970,781、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2014: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2013: ¥970,781 (Direct Cost: ¥970,781) Fiscal Year 2012: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
Keywords	自明なソースをもつ加群 / スコット加群 / 相対射影被覆 / 相対入射包絡
Research Abstract	巡回不足群をもつブロックに属する直既約加群の相対射影被覆について研究を実施した。自明なソースをもつ加群の中でも重要なスコット加群は、自明な加群の相対射影被覆であり、相対入射包絡でもある。スコット加群の一般化として、シローp-部分群が巡回群であるような有限群に対して、主ブロックに属する単純加群の相対射影被覆を与えられるのではないかと考え、主にその研究に取り組んだ。不足群が巡回群であるようなブロックに属する直既約加群は、ブラウアーツリーと呼ばれる連結非輸状線形グラフから組成因子を構成することができる。そこで、主ブロックに属する単純加群を、ブラウアーツリー上で端の辺に対応するものとそうでないものに分類して、各々の相対射影被覆について調べた。まず、ブラウアーツリー上で端の辺に対応する単純加群の相対射影被覆は、スコット加群にヘラー作用素を複数回施すことによって得られることが分かった。ヘラー作用素を施す回数は、自明な加群にヘラー作用素を施して対象の単純加群と同型になる回数と一致しており、これはグリーンによって導入されたブラウアーツリー上の歩き方によって定まる。この歩き方は、自明な加群の最小射影分解と関係している。また、ブラウアーツリー上で端の辺に対応する単純加群については、相対入射包絡も相対射影被覆と同型になる。このことから、このような単純加群の相対射影被覆を与えるブラウアーツリー上の道が定まり、スコット加群を含む結果が得られた。一般に、相対射影被覆の加群としての構造は殆ど知られていないが、巡回不足群をもつ主ブロックに属する一部の単純加群については与えることができた。また、今回の結果は、スコット加群の重要性をより際立たせるものになっている。以上の結果を博士論文にまとめ、博士(理学)を取得した。一方、ブラウアーツリー上で端ではない辺に対応する単純加群の相対射影被覆については、研究途中である。特殊線形群、斜交群、鈴木群などの群について具体例を計算し、予想を立てて証明に取り組んでいる。
Strategy for Future Research Activity	(抄録なし)