高階の非線形双曲型方程式の解のライフスパンに関する研究

• Project/Area Number: 13740108
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 木下 保 筑波大学, 数学系, 助手 (90301077)
• Project Period (FY): 2001 – 2002
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2002)
• Budget Amount: ¥2,100,000 (Direct Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 2002: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2001: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 高階 / 双曲型 / ライフスパン / 非線形 / 双曲型方程式 / レヴィ条件 / 実解析的なクラス

Research Abstract

高階の非線形双曲型方程式に取り組む上で、昨年度は第一ステップとして非線形問題をモデル化した線形問題大域解の存在に重点をおいて研究を行ったが、本年度も引き続き未解決であった線形問題に取り組み、そのあと第二スチップとして非線形問題への応用を行った。詳しくは以下の通りである。
線形問題(1)方程式の主部から決定される特性根の形と方程式の低階の項の形の関係。
線形問題(2)高階の方程式のさらなる一般化であるシステム(連立方程式)の研究。
非線形問題(3)方程式の非線形項の形がライフスパンに与える影響。
1.ローマ大学のP.D'Ancona氏と共同研究を行い、(1)のように高階の方程式の低階の項の形が与える影響を十分考察することで、システム(連立方程式)の場合も高階の方程式とかなり同等の結果を導くことに成功した。ただし、これまでに知られているシステム(連立方程式)の結果と多少ではあるがギャップがあるためピサ大学のS.Spagnolo氏も共同研究に参加し、システムのサイズが2×2と3×3のときに限定してさらなる詳しい研究を行い、最適な結果を得ることに成功した。
2.低階の項だけに非線形項がある(半線形)場合は、(1)の結果からすぐに非線形問題への応用が進みました。すなわち、(1)で調べられた特性根と低階の項の形の関係から、十分小さな初期値を与えるだけで、解のライフスパンも無限大に延び、大域解が得られることが判りました。しかしながら非線形項が主部にも加わる(準線形)場合は予想以上に困難な状況になったため、今後の課題である。

Research Products

• [Publications] T.Kinoshita: "On the wellposedness of the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations of higher order"Surikaisekikenkyusho Kokyuroku. 1261. 10 (2002)
• [Publications] T.Kinoshita: "Gevrey-well-posedness for weakly hyperbolic operators with non-regular coefficients"Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. 81. 14 (2002)
• [Publications] T.Kinoshita: "On weakly hyperbolic operators with non-regular coefficients and finite order degeneration"Journal of Mathematical Analysis and Applications.
• [Publications] T.Kinoshita: "On the Cauchy problem in Gevrey classes for dispensive equations"Differential and Integral Equations. Vol14・No2. 159-173 (2001)
• [Publications] T.Kinoshita: "On the Gevrey Wellposedness of the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations of 4th order"Hokkaido Mathematical Journal. Vol31・No1. 39-60 (2002)