双線形方程式を中心とした離散可積分系の研究

• Project/Area Number: 13J03088
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 間瀬 崇史 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2016-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2015)
• Budget Amount: ¥3,000,000 (Direct Cost: ¥3,000,000); Fiscal Year 2015: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2014: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2013: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
• Keywords: 可積分系 / 離散可積分系 / 特異点閉じ込め / 代数的エントロピー / Laurent現象 / 初期値空間 / 離散双線形方糧式

Outline of Annual Research Achievements

離散可積分系について、可積分性判定の観点から研究を行った。用いた主な道具は、特異点閉じ込め、代数的エントロピー、Laurent現象、互いに素条件、初期値空間などである。
まず、特異点閉じ込めを通過するにもかかわらず非可積分となるような方程式について調べた。そのような方程式は、2階の常差分方程式ではHietarinta-Viallet方程式をはじめとして数多くの例が知られていた。今回、偏差分方程式において初めてとなる具体例を構成することに成功した。さらに、新しく発見した方程式を、昨年度まで研究していた互いに素条件を用いて解析した。その結果、特異点パターンに基づいた従属変数変換によって得られる方程式は非常に複雑な定義式を持つものの、Laurent性、既約性、互いに素条件など非常に良い性質を持っているということがわかった。ここで用いた手法は可積分方程式を特異点パターンに応じた変換によって双線形化するという手法の一般化となっており、一部の非可積分な偏差分方程式においてもこの手法が有効であるということがわかった。なお、今回得られた方程式はreductionによって高階の常差分方程式へと落ちるが、従属変数変換自体もそのまま対応する。
続いて、自励系とは限らない2階の差分方程式を、初期値空間を用いて解析した。初期値空間を持つような2階の方程式の一般的性質を調べるとともに、そのような方程式の分類を試みた。その結果、2階の可積分非自励差分方程式であって初期値空間を持ち、なおかつ次数増大が非有界となるものは、坂井の意味での離散パンルヴェ方程式に限るという結果が得られた。

Research Progress Status

27年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

27年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Investigation into the role of the Laurent property in integrability (2016)
  • Author(s): T. Mase
  • Journal Title: Journal of Mathematical Physics Volume: 57 Issue: 2 Pages: 022703-022703
  • DOI: 10.1063/1.4941370
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Algebraic entropy of an extended Hietarinta-Viallet equation (2015)
  • Author(s): Masataka Kanki, Takafumi Mase and Tetsuji Tokihiro
  • Journal Title: J. Phys. A: Math. Theor. Volume: 48 Issue: 35 Pages: 355202-355202
  • DOI: 10.1088/1751-8113/48/35/355202
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Deautonomisation by singularity confinement: an algebro-geometric justification (2015)
  • Author(s): T. Mase, R. Willox, B. Grammaticos and A. Ramani
  • Journal Title: Proceedings of the Royal Society A Volume: 471 Issue: 2183 Pages: 20140956-20140956
  • DOI: 10.1098/rspa.2014.0956
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Singularity confinement and full-deautonomisation: a discrete integrability criterion (2015)
  • Author(s): B. Grammaticos, A. Ramani, R. Willox, T. Mase and J. Satsuma
  • Journal Title: Physica D Volume: 313 Pages: 11-25
  • DOI: 10.1016/j.physd.2015.09.006
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] The redemption of singularity confinement (2015)
  • Author(s): 間瀬崇史
  • Journal Title: Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical Volume: 48 Issue: 11 Pages: 11FT02-11FT02
  • DOI: 10.1088/1751-8113/48/11/11ft02
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Irreducibility and co-primeness as an integrability criterion for discrete equations (2014)
  • Author(s): 間瀬崇史
  • Journal Title: Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical Volume: 47 Issue: 46 Pages: 465204-465204
  • DOI: 10.1088/1751-8113/47/46/465204
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The Laurent Phenomenon and Discrete Integrable Systems (2013)
  • Author(s): 間瀬 崇史
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku Bessatsu Volume: B41 Pages: 43-64
  • Peer Reviewed
• [Presentation] 離散方程式の代数的エントロピーと初期値空間 (2015)
  • Author(s): 神吉雅崇, 間瀬崇史
  • Organizer: 青山数理セミナー
  • Place of Presentation: 青山学院大学相模原キャンパス(神奈川県・相模原市)
  • Year and Date: 2015-11-18
• [Presentation] The Laurent Property and Discrete Integrable Systems (2014)
  • Author(s): 間瀬崇史
  • Organizer: International Conference on Symmetries and Integrability in Difference Equations
  • Place of Presentation: インド理科大学院(インド・バンガロール)
  • Year and Date: 2014-06-16
• [Presentation] Laurent現象と離散双線形方程式 (2013)
  • Author(s): 間瀬 崇史
  • Organizer: 数理*セミナー
  • Place of Presentation: 東京大学数理科学研究科(東京都目黒区)
  • Year and Date: 2013-10-19