| Research Abstract |
I.退化準線形放物型方程式の非適切コーシー問題
線形放物型方程式の非特性コーシー問題は非適切(not well-posed)であることはよく知られている。しかし解の大きさの枠を指定しておけば、その枠の中で適切(well-posed)で、あること、すなわち適切さを表す評価式が成り立つことが分かっている。
この結果が、準線形放物型方程式の一種である急速拡散方程式についても成り立っていることを、我々は既に論文K.Hayashida and T.Yamashiro, Tokyo J.Math.、19(1996),331-352において発表したが、そこでは解の非負性を仮定した。今回この非負性を除去するために努力を重ねた結果、適切さを表す評価式よりも弱い形、すなわち非特性コーシー問題の解の一意性という形で肯定的な成果を得ることが出来た。この成果は論文K.Hayasida, TSUKUBA J.Math.,27(2003),175-187で発表した。
II.平均曲率方程式のDirichlet問題
平均曲率方程式のDirichlet問題は領域がある意味での凸性、すなわちH-凸性をもてば解けることは良く知られている(J.Serrin,1969)。その方法はbarrier関数を構成することである。しかしH-凸性がないとき、この方法を適用することは出来ない。我々は既に論文K.Hayashida and M.Nakatani, Nagoya Math. J.,157(2000),177-209において、凸性がないときにも平均曲率方程式のDirichlet問題が肯定的であることを評価式の方法で示したが、今回その結果が非定常の場合、すなわち平均曲率発展方程式の場合にも肯定的であることを示した。この成果は、K.Hayashida and Y.Ikeda, J.Math.Soc.Japan,56(2004)において発表される予定である(掲載決定:2003.12.6)。
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