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フィンスラー多様体への調和写像とハーツホーン予想の証明

Research Project

Project/Area Number 14654011
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Geometry
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

西川 青季  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004488)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 石田 正典  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30124548)
立川 篤  東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257)
Project Period (FY) 2002 – 2004
Project Status Completed (Fiscal Year 2004)
Budget Amount *help
¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000)
Fiscal Year 2004: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2003: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
Fiscal Year 2002: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
Keywords調和写像 / フィンスラー多様体 / ハーツホーン予想 / フィンスラー計量
Research Abstract

1970年にR.Hartshorneは「豊富な接束をもつ非特異既約射影多様体は射影空間に同型である」という予想を提出し,この予想は1979年に森重文氏により,代数幾何学的手法を用いて証明された.一方,1975年に小林昭七氏は「コンパクト複素多様体上の正則ベクトル束が豊富であることと,その双対束が負曲率をもつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容することは同値である」ことを証明した.本研究の目標は,この小林氏の結果をもとに,コンパクト複素多様体に対するハーツホーン予想を,フィンスラー幾何学のカテゴリーで,微分幾何学的手法により証明することである.
この問題に関して,昨年度までの研究において,閉リーマン面から複素フィンスラー多様体への微分可能な写像に対して,閉リーマン面からリーマン多様体への写像に対するエネルギーの一般化となる自然なエネルギー汎関数の定義を与え,とくにリーマン球(種数0の閉リーマン面)から正曲率をもつ弱ケーラー複素フィンスラー多様体への,エネルギー最小な調和写像は正則あるいは反正則写像となることを証明した.
本年度の研究においては,更に
1.このエネルギー汎関数の臨界点としてえられる調和写像が一意接続性をもつこと,及び
2.複素フィンスラー計量を利用して,豊富な正則接束をもつコンパクト複素多様体の2次元ベッチ数が1である
ことを証明した.これらの結果により,双対接束が負曲率かつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容するコンパクト複素多様体に対して,ハーツホーン予想の証明のキーポイントである,非自明な有理曲線の存在を証明する準備が整ったことになる.
現在研究は,リーマン球からコンパクト複素フィンスラー多様体へのエネルギー最小な調和写像の存在証明へと継続され,摂動されたエネルギー汎関数の最小列の収束を研究中である.

Report

(3 results)
  • 2004 Annual Research Report
  • 2003 Annual Research Report
  • 2002 Annual Research Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2004 Other

All Journal Article (3 results) Publications (6 results)

  • [Journal Article] Harmonic maps in complex Finsler geometry2004

    • Author(s)
      Seiki Nishikawa
    • Journal Title

      Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications 59

      Pages: 113-132

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Foliated CR manifolds2004

    • Author(s)
      S.Dragomir, Seiki Nishikawa
    • Journal Title

      Journal of the Mathematical Society of Japan 56・4

      Pages: 1031-1068

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Interior estimates in Campanato spaces related to quadratic functionals2004

    • Author(s)
      M.A.Ragusa, Atsushi Tachikawa
    • Journal Title

      数理解析研究所講究録 1405

      Pages: 54-65

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Publications] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps and homogeneous manifolds of negative curvature : An invitation to geometric analysis"Sugaku Expositions. 16・2. 177-190 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps in complex Finsler geometry"Geometric Variational Problems ; Bubbles, Scans and Geometric Flows. (発表予定). (2004)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps between Carnot spaces"Differential Geometry and Related Topics : Proceedings of the International Conference on Modern Mathematics. (発表予定). (2003)

    • Related Report
      2002 Annual Research Report
  • [Publications] Atsushi Tachikawa: "A partial regularity result for harmonic maps into Finsler manifolds"Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 16・2. 217-224 (2003)

    • Related Report
      2002 Annual Research Report
  • [Publications] 西川 青季: "カルノー空間の間の固有調和写像について"数理解析研究所講究録. 1270. 153-169 (2002)

    • Related Report
      2002 Annual Research Report
  • [Publications] Seiki Nishikawa: "Variational Problems in Geometry"America Mathematical Society. 209 (2002)

    • Related Report
      2002 Annual Research Report

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Published: 2002-04-01   Modified: 2016-04-21  

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