解析函数の空間における微分方程式の研究へのエネルギー評価の導入

• Project/Area Number: 14654029
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 若林 誠一郎 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (10015894)
• Project Period (FY): 2002 – 2004
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2004)
• Budget Amount: ¥3,400,000 (Direct Cost: ¥3,400,000); Fiscal Year 2004: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2003: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2002: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
• Keywords: 擬微分作用素 / 可解性 / 佐藤超函数 / エネルギー評価 / マイクロ函数 / 準楕円性 / 特異性の伝播 / 局所可解性 / マイクロ関数

Research Abstract

佐藤超函数(解析函数)の枠組、ウルトラディストリビューション(Gevrey族)の枠組及びディストリビューション(C^∞函数)の枠組で、エネルギー評価の観点から統一的に(擬)微分作用素の局所可解性を取り扱い、例として主部がD_1^2+・・・+D_<n-1>^2+x_n^2D_n^2である作用素に対して、それぞれの枠組における局所可解性のための必要条件・十分条件を与えた。
ディストリビューションの枠組では、局所可解性の研究においてエネルギー評価が非常に有効な手段であることは古くから知られていた。また佐藤超函数の枠組に対しては"Classical Microlocal Analysis in the Space of Hyperfunctions, Springer Lecture Notes in Math.vol.1737"において、如何にエネルギー評価を用いればよいかを示した。今年度の研究においてウルトラディストリビューションの枠組においても同様の取り扱いが可能であることを示した。
感覚的な言い方をすれば局所可解性の研究はディストリビューションの枠組で考えることが一番難しく、不確定性原理に基づくエネルギー評価法を発案し用いることにより、不十分ではあるが、ディストリビューションの枠組においても局所可解性の十分条件を得た。
今年度の後半は、双曲型方程式系に対するCauchy問題のC^∞適切性についても研究した。、特に主部が定係数である1階双曲系に対して非常に制限された条件の下ではあるが、C^∞適切性のための必要十分条件を得た。この結果は作用素の行列式が比較的簡単に定義される場合のものであり、一般の状況で如何に行列式を定義すれば良いかについても考察した。しかし個別の例に対して行列式を定義したにすぎず、不十分な結果に終わってしまった。今後の発展につなげたいと思う。

Research Products

• [Journal Article] The C^∞-well posed Cauchy problem for hyperbolic operators dominated by time functions (2004)
  • Author(s): K.Kajitani, K.Yagdjian, S.Wakabayashi
  • Journal Title: Japanese J.Math. 30・2 Pages: 283-348
  • NAID: 10014334684
• [Publications] S.Wakabayashi: "Remarks on analytic hypoellipticity and local solvability"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 10. 89-117 (2003)
• [Publications] S.Wakabayashi: "The Cauchy problem for hyperbolic operators dominated by time functions"Hyperbolic Problems and Related Topics. 423-436 (2003)
• [Publications] K.Kajitani: "The C^∞-well posed Cauchy problem for hyperbolic operators dominated by time functions"Japanese J.Math.. 30・2(to appear). (2004)
• [Publications] K.Kajitani: "The hyperbolic operators with the characteristics vanishing with the different speeds"Osaka J. of Math.. 39・2. 447-485 (2002)
• [Publications] N.Nakazawa: "On Hypoellipticity of the Operator exp[-|x_1|^<-σ>]D^2_1+x^4_1D^2_2+1"Publ. of the Res. Inst. for Math. Sci.. 38・1. 135-146 (2002)
• [Publications] S.Wakabayashi: "Remarks on analytic hypoellipticity and local solvability in the space of hyperfunctions"J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 10(To appear). (2003)