特異点をもつ曲面の幾何とトポロジー

• Project/Area Number: 14J00101
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 直川 耕祐 神戸大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2014-04-25 – 2017-03-31
• Project Status: Declined (Fiscal Year 2016)
• Budget Amount: ¥4,940,000 (Direct Cost: ¥3,800,000、Indirect Cost: ¥1,140,000); Fiscal Year 2016: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000); Fiscal Year 2015: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000); Fiscal Year 2014: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
• Keywords: 特異点 / ホイットニーの傘 / 半正定値計量 / 等長実現 / メビウスの帯 / 離散化 / 可展面 / 結び目 / 等長変形 / カスプ辺

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題では，曲面に現れる特異点やトポロジーに関する研究を行い，微分幾何学的な視点から，その性質を明らかにすることを目的としている．この研究目的に従って，本年度は次のような成果を得た．
（１）交叉帽子は，３次元ユークリッド空間内の滑らかな曲面において，最も頻繁に現れる特異点として重要である．昨年度に報告した筆者を含む６人の先行研究では，ホイットニー計量と呼ばれる，交叉帽子の誘導計量を含む半正定値計量のクラスを定義し，交叉帽子特異点の内的定式化を行った．本研究では，その発展として，ホイットニー計量を備えた任意の２次元多様体が，形式的べき級数としては，３次元ユークリッド空間内に局所等長的に実現できることを示した．さらに，その応用として，実解析的なホイットニー計量の等長類を特徴づける，加算無限個の内的不変量の族も与えた．（都城高専の本田淳史氏，東工大の梅原雅顕氏，山田光太郎氏との共同研究）
（２）３次元ユークリッド空間において，番号づけられた直線の列であって，隣接するどの２直線も同一平面上に横たわるものを離散可展面という．長方形の帯状の「紙」を半整数回捻り，両端を繋げて出来るメビウスの帯は，数学的には「中心線が測地線である可展的なメビウスの帯」と考えられる．本研究では，その離散的定式化を行い，勝手に与えられた「中心線の結び目の型」と「捻り数」をもつような，離散的かつ測地的なメビウスの帯の存在を示した．さらに，中心線が閉曲率線であるような可展的なメビウスの帯の離散的定式化も行い，勝手な「中心線の結び目の型」と「捻り数」をもつ，離散的かつ主曲率的なメビウスの帯の存在も示した．実解析的に滑らかな場合については，黒野氏と梅原氏による先行研究があるが，これらはその離散版である．この成果に基づき，現在，論文の準備中である．（ウィーン工科大のクリスティアン・ミュラー氏との共同研究）

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] ウィーン工科大学(オーストリア)
• [Journal Article] Isometric deformations of cuspidal edges (2016)
  • Author(s): K. Naokawa, M. Umehara, K. Yamada
  • Journal Title: Tohoku Math. J. Volume: 68 Pages: 73-90
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] The topology of extrinsically flat closed strips on given knots in spaces of constant curvature (2015)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Journal Title: Kobe J. Math. Volume: 32 Pages: 61-68
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] The topology of extrinsically flat closed strips on given knots in spaces of constant curvature (2015)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Journal Title: Kobe Journal of Mathematics Volume: -
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Intrinsic properties of surfaces with singularities (2015)
  • Author(s): M. Hasegawa, A. Honda, K. Naokawa, K. Saji, M. Umehara, K. Yamada
  • Journal Title: International Journal of Mathatematics Volume: 26 Issue: 04 Pages: 1-34
  • DOI: 10.1142/s0129167x1540008x
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Isometric deformations of cuspidal edges (2015)
  • Author(s): K. Naokawa, M. Umehara, K. Yamada
  • Journal Title: Tohoku Mathematical Journal Volume: -
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] Discrete developable Moebius strips (2016)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Organizer: Japan-Austria Joint Workshop ``Transformations and Singularities"
  • Place of Presentation: 東京工業大学（東京都目黒区）
  • Year and Date: 2016-02-23
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Realization problem of intrinsic cross caps (2016)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Organizer: OCAMI-KOBE-WASEDA International Workshop on ``Differential Geometries and Integrable Systems''
  • Place of Presentation: 神戸大学（兵庫県神戸市）
  • Year and Date: 2016-02-16
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 特異点をもつ曲面の等長変形と実現問題について (2015)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: 部分多様体論・湯沢2015
  • Place of Presentation: 湯沢グランドホテル（新潟県湯沢町）
  • Year and Date: 2015-11-20
• [Presentation] Isometric deformations of cuspidal edges (2015)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Organizer: Differential Geometry with Dajczer
  • Place of Presentation: 東京工業大学（東京都目黒区）
  • Year and Date: 2015-10-07
• [Presentation] 定曲率空間内の与えられた結び目に沿う可展的な閉じた帯のトポロジー (2015)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: 日本数学会2015年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 京都産業大学（京都府京都市）
  • Year and Date: 2015-09-13
• [Presentation] カスプ辺の等長変形 (2015)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: 日本数学会2015年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 京都産業大学（京都府京都市）
  • Year and Date: 2015-09-13
• [Presentation] Isometric deformations of cuspidal edges (2015)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Organizer: Geometry Seminar in Vienna University of Technology
  • Place of Presentation: ウィーン工科大学（オーストリア・ウィーン）
  • Year and Date: 2015-05-20
• [Presentation] Isometric deformations of surfaces with singularities (2014)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: 広島大学トポロジー・幾何セミナー
  • Place of Presentation: 広島大学
  • Year and Date: 2014-12-16
• [Presentation] Isometric deformations of surfaces with singularities (2014)
  • Author(s): K. Naokawa
  • Organizer: Transformations and Singularities
  • Place of Presentation: Vienna University of Technology
  • Year and Date: 2014-09-18
• [Presentation] Geometry of Moebius strips (2014)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: Geometry and Topology in Computer Graphics (Kobe Studio Seminar)
  • Place of Presentation: 神戸大学
  • Year and Date: 2014-06-28
• [Presentation] メビウスの帯の幾何学 (2014)
  • Author(s): 直川耕祐
  • Organizer: 大阪市立大学微分幾何学セミナー
  • Place of Presentation: 大阪市立大学
  • Year and Date: 2014-06-18