代数力学系の手法による離散可積分系とセルオートマトンの研究

• Project/Area Number: 14J00242
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 神吉 雅崇 立教大学, 理学部, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2014-04-25 – 2015-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2014)
• Budget Amount: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000); Fiscal Year 2014: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
• Keywords: 離散可積分系 / 偏差分方程式 / 離散力学系

Outline of Annual Research Achievements

本年度は離散力学系を定義する際に生じる特異点分布を研究した。特に、1次元の発展をもつQRT写像（Quispel-Roberts-Thompson mappings）および、2次元格子状の発展をもつ離散KdV方程式について、無限大や不定性がどのような場所に出現するかを調べた。定式化のため、クラスター代数理論におけるローラン現象（Laurent phenomenon、ある種の離散方程式について、方程式の解が初期変数のローラン多項式になるという現象）と、可積分性の関係を利用した。取り扱った方程式は双線形形式においてはローラン現象をもつので、一般項のローラン多項式の因数分解を行い、相異なる2つの項が共通因子を持つかどうかを調査した。この結果、QRT写像（の一種）と離散KdV方程式について、その一般項が既約なローラン多項式であり、従って相異なる2項は、互いに素である（つまり初期変数の単項式以外の共通因子を持たない）ことを証明できた。本年度の主たるテーマはこのような「互いに素」(co-prime条件)を調査し、離散力学系の可積分性との関連を研究することであった。2項が互いに素である性質によって、その2項は同時に特異点には成り得ないことが分かるため、従来の可積分性判定基準「特異点閉じ込めテスト（singularity confinement test）」の代数的な定式化であることがわかった。一方、本手法で既約性を証明するには、方程式ごとに個別の議論を行う必要があり、離散系の形によらない手法の発見が今後の課題である。

Research Progress Status

26年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

26年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Integrability criterion in terms of cop rime property for the discrete Toda equation (2015)
  • Author(s): M. Kanki, J. Mada, T. Tokihiro
  • Journal Title: Journal of Mathematical Physics Volume: 56 Issue: 2 Pages: 022706-022706
  • DOI: 10.1063/1.4908109
  • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] The redemption of singularity confinement (2015)
  • Author(s): 間瀬崇史
  • Journal Title: Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical Volume: 48 Issue: 11 Pages: 11FT02-11FT02
  • DOI: 10.1088/1751-8113/48/11/11ft02
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Irreducibility and co-primeness as an integrability criterion for discrete equations (2014)
  • Author(s): 間瀬崇史
  • Journal Title: Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical Volume: 47 Issue: 46 Pages: 465204-465204
  • DOI: 10.1088/1751-8113/47/46/465204
  • Peer Reviewed
• [Presentation] 周期離散戸田方程式における互いに素条件 (2015)
  • Author(s): 神吉雅崇、時弘哲治、間田潤
  • Organizer: 日本数学会年会
  • Place of Presentation: 明治大学（東京都・千代田区）
  • Year and Date: 2015-03-24
• [Presentation] 離散力学系の互いに素条件と可積分性 (2015)
  • Author(s): 神吉雅崇
  • Organizer: 可積分性ウィンターセミナー２０１５
  • Place of Presentation: KKR湯沢（新潟県・南魚沼郡）
  • Year and Date: 2015-02-02
• [Presentation] 離散方程式の新しい可積分性判定手法について (2014)
  • Author(s): 神吉雅崇
  • Organizer: 数理＊セミナー
  • Place of Presentation: 武蔵野大学（東京都・江東区）
  • Year and Date: 2014-11-05
  • Invited
• [Presentation] 互いに素条件による離散方程式の可積分性判定 (2014)
  • Author(s): 神吉雅崇、時弘哲治、間瀬崇史、間田潤
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 広島大学（広島県・東広島市）
  • Year and Date: 2014-09-26
• [Presentation] Detecting integrability of discrete equations by irreducibility and co-primeness (2014)
  • Author(s): Masataka Kanki
  • Organizer: SIDE2014
  • Place of Presentation: バンガロール （インド）
  • Year and Date: 2014-06-17
  • Invited