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正標数の高次元カラビ・ヤウ多様体の研究

Research Project

Project/Area Number 15654002
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Algebra
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

桂 利行  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 宮岡 洋一  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50101077)
Project Period (FY) 2003 – 2005
Project Status Completed (Fiscal Year 2005)
Budget Amount *help
¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000)
Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2004: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2003: ¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000)
Keywords正標数 / カラビ・ヤウ多様体 / チャーン類 / 普遍族 / モジュライ空間 / コモホロジー群 / 超曲面 / コホモロジー群 / a数 / ミラー対称性 / ピカール群 / イリュージー層 / アルチン・メーザー形式群
Research Abstract

本年度の研究成果は,2次元Calabi-Yau多様体であるK3曲面とそのモジュライに関するものが中心になった.M_<2d>を次数2d(p 〓2d)の偏極K3曲面のモジュライ・スタック,π:X→M_<2d>を偏極K3曲面の普遍族とする.V=π_*(Ω^2_<X/M_<2d>>)とおき,その第1Chern類をυ=c_1(V)とおく.また,t_2=c_2(Ω^1_<X/M_<2d>>)とおく.任意の0以上の整数lに対しπ_*(t^<l+1>_2)を有理係数のChow群の中で,υの式として表せばa_lυ^<2l>の形となるが,有理数a_lを具体的に決定した.また,M_<2d>の接束をΘとするとき,M_<2d>のGrothendieck群に於けるΘを,H^2_<dR>とVを用いて表示し,c_1(Θ)=-19υなることを示した.これらの事実および周辺の結果を論文にまとめ海外共同研究者G.van der Geerとの共同研究としてMoscow Math.J.に発表した.また,正標数における単有理曲面の研究の成果をK3曲面の場合を中心としてCreteにおける研究集会で発表した.Calabi-Yau多様体の場合には接束の第1Chern類が消える.そのことによって,Calabi-Yau多様体は素粒子論における超限理論で重要な役割を演ずるが、Higgs束も素粒子論において重要な役割を有している。Calabi-Yau多様体の接束のように第1Chern類が消えるようなHiggs束を考える.これらのベクトル束はSimpsonの結果から安定なものはn次元射影多様体Xの基本群π_1(X)の特殊線形群SL(r,C)への線形表現から得られることが導かれる.研究分担者宮岡洋一は,第1Chern類が消えるような安定Higgs束の興味深い例をいくつか構成した.

Report

(3 results)
  • 2005 Annual Research Report
  • 2004 Annual Research Report
  • 2003 Annual Research Report
  • Research Products

    (8 results)

All 2005 2004 Other

All Journal Article (5 results) Publications (3 results)

  • [Journal Article] An example of stable Higgs bundles for which the Bogomolov inequality fails2005

    • Author(s)
      Y.Miyaoka
    • Journal Title

      第50回代数学シンポジウム報告集

      Pages: 2003-2009

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] 代数幾何学を概観する2004

    • Author(s)
      桂 利行
    • Journal Title

      応用数理 14

      Pages: 71-74

    • NAID

      110001899059

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Examples of stable Higgs bundles with flat connections2004

    • Author(s)
      宮岡 洋一
    • Journal Title

      広島代数幾何シンポジウム報告集

      Pages: 83-94

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Numerical characterizations of hyperguadrics2004

    • Author(s)
      Y.Miyaoka
    • Journal Title

      Adv.Stud.Pure Math. 42

      Pages: 209-235

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Note on tautological classes of moduli of K3 surfaces

    • Author(s)
      G.van der Geer, T.Katsura
    • Journal Title

      Moscow Math.J. Accepted for publication

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Publications] G.van der Geer, T.Katsura: "On the Height of Calabi-Yau Varieties in Positive Characteristic"Documenta Math.. 8. 97-113 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 桂 利行: "正標数ワールド"第48回代数学シンポジウム報告集. 36-43 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 宮岡 洋一: "An example of stable lhggs bundles which do not satisfy the Bogomodov inequality"代数幾何学シンポジウム記録. 71-78 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report

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Published: 2003-04-01   Modified: 2016-04-21  

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