重力場レンズ現象に現れる特異点の研究

• Project/Area Number: 15654008
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 泉屋 周一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127422)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,500,000 (Direct Cost: ¥3,500,000); Fiscal Year 2005: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2004: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2003: ¥1,400,000 (Direct Cost: ¥1,400,000)
• Keywords: 重力場レンズ現象 / 一般相対推理 / シンプレクティック幾何 / ローレンツ幾何 / 特異点 / 重力場レンズ / 厳密重力場レンズ方程式 / ブラックホール / 事象の地平線 / 光錐的超曲面 / ミンコフスキー空間 / ド・シッター空間 / 反ド・シッター空間 / 多重重力場レンズ / シンプレクテイック関係 / 焦線 / ラグランジュ特異点

Research Abstract

平成17年度における研究は15年度16年度の成果を踏まえて、重力場レンズ現象の焦線の研究を推進すると同時に、今後の研究目標とも言うべき、事象の地平線の特異点(ブラックホールの形状と関係する)の研究をすすめる為の、基礎的事実の整理を行った。そのために、は重力がない場合に対応する、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光的超曲面の特異点の研究を推進した。特に、一次元下がった場合の3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光的超曲面(光的可展面)が光的超平面、光錐、光的超曲面内の曲線の接線曲面、光的曲線の接線曲面かその張り合わせからなることを示し、そのうちでもっとも興味深い曲面である光的曲線の接線曲面の特異点の分類を実行した。その結果、生成的な光的曲線の接線曲面の特異点は局所的にカスプ曲面、ツバメの尾またはシェルバク曲面に微分同相となることがわかった。3次元ユークリッド空間内の接線曲面の特異点は生成的な曲線にたいしてカスプ曲面か折り畳み傘に局所微分同相であることが知られており、全く違う状況にあることが判明した。ちなみに、シェルバク曲面はロシアのシェルバクにより、H3型の複素鏡映群に対応する事が示されている。また、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の3次元ド・シッター空間内の光的曲面の特異点についての研究も推進した。このド・シッター空間はアインシュタイン方程式の真空解の一つとして知られ、宇宙論における重要な概念である。この空間内の光的曲面の特異点を研究する事は、平坦でない重力めある場合の空間内の事象の地平線の形状を研究する上での第一歩となる。その結果、生成的な空間的曲線に沿った光的曲面の特異点は局所的にカスプ曲面またはツバメの尾に微分同相となることがわかった。

Research Products

• [Journal Article] The horospherical geometry of Submanifolds in Hyperbolic space (2005)
  • Author(s): Shyuichi IZUMIYA
  • Journal Title: Journal of London Mathematical Society 71 Pages: 779-800
• [Journal Article] Evolutes of hyperbolic plane curves (2004)
  • Author(s): S.Izumiya
  • Journal Title: Aeta Mathmatica Sinica 20 Pages: 543-550
• [Journal Article] Horospherical surfaces of curves in Hyperbolic space (2004)
  • Author(s): S.Izumiya
  • Journal Title: Publ.Math.(Debrecen) 64 Pages: 1-13
• [Journal Article] On the horospherical ridges of submanifolds of codimension 2 in Hyperbolic n-space (2004)
  • Author(s): S.Izumiya
  • Journal Title: Bull.Braz.Math.Soc. 35・2 Pages: 177-198
• [Journal Article] Singularities of evolutes of hypersurfaces in hyperbolic space (2004)
  • Author(s): S.Izumiya
  • Journal Title: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 47 Pages: 131-153
  • NAID: 120000960668
• [Book] 切って,見て,触れてよくわかる「かたち」の数学 (2005)
  • Author(s): 泉屋 周一
  • Total Pages: 133
  • Publisher: 日科技連出版
• [Publications] S.Izumiya: "Singularities of hyperbolic Gauss maps"Proceedings of London Mathematical Society. 86. 485-512 (2003)
• [Publications] S.Izumiya: "Transversal Whitney Topology and Singularities of Haefliger Folidations"Real and Complex Singularities (ed.D.Mond and M.J.Saia) Marcel Dekker. 165-173 (2003)
• [Publications] S.Izumiya: "Geometry of Ruled Surfaces"Applicable Mathematics in the Golden Age (ed.J.C.Misra) Narosa Publishing House. 305-338 (2003)
• [Publications] S.Izumiya: "Special Curves and Ruled Surfaces"Contributions to Algebra and Geometry. 44・1. 203-212 (2003)
• [Publications] S.Izumiya: "A symplectic framework for multiplane gravitational lensing"Journal of Mathematical Physics. 44・5. 2077-2093 (2003)