2次元結び目解け予想の解決

• Project/Area Number: 15654011
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 松本 尭生 (松本 堯生) 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (50025467)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鎌田 聖一 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,500,000 (Direct Cost: ¥3,500,000); Fiscal Year 2005: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2004: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2003: ¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000)
• Keywords: 2次元結び目 / 解け予想 / 2次元ブレイド / チャート表示 / 変形 / マルコフ型定理 / 2次元滑らか結び目 / 結び目解け予想 / 1助変数族 / 安定化

Research Abstract

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては、既に与えられている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという試みである。
既に以前の研究によって、交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1-助変数族に変換するところが、マルコフ型定理の拡張であってまず大問題である。
この点については、研究分担者が中心になって基本的なアイデアを実行し、2月のトポロジー広島研究集会で発表を行った。現在内容を執筆中である。
一方、こうしてできる特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示すること自体にも、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難があったが、昨年度の研究に引き続いた研究によって、それも解決された。
いずれにしても一端が自明な結び目であることを用いて、2次元ブレイドの1-助変数族の高さの取替え法を確立し、自己交差の成分数を減らす方法を研究する必要がある。しかしながら、今年度の研究によって、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみであった場合にも基本的な問題が存在することが判明した。その解決には至っていないが、これまでの研究で状況は明確に成っており、証明を完結するにはブレイド群の特定の元との交換群を代数的に研究し、更に幾何的な考察も必要であると考えられる。

Research Products

• [Journal Article] Chart description and a new proof of the classification theorem of genus one Lefschetz fibrations (2005)
  • Author(s): Takao Matumoto
  • Journal Title: Journal of Mathematical Society of Japan 57・2
  • NAID: 10016420091
• [Journal Article] 2次元ブレイドと4次元結び目 (2005)
  • Author(s): 鎌田聖一
  • Journal Title: 数学 57・4 Pages: 383-399
• [Journal Article] Enveloping monoidal quandles (2005)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology and its Applications 146/147 Pages: 133-148
• [Journal Article] Word representation of cords on a punctured plane (2005)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology and its Applications 146/147 Pages: 21-50
• [Journal Article] Chart description and a new proof of the classification theorem of genus one Lefschetz fibrations (2005)
  • Author(s): Kamada, Seiichi, Matumoto, Takao 他
  • Journal Title: Journal of Mathematical Society of Japan 57(掲載予定)
  • NAID: 10016420091
• [Journal Article] Enveloping monoidal quandles (2005)
  • Author(s): Kamada, Seiichi 他
  • Journal Title: Topology and its Applications 146 Pages: 133-148
• [Journal Article] Word representation of cords on a punctured plane (2005)
  • Author(s): Kamada, Seiichi 他
  • Journal Title: Topology and its Applications 146 Pages: 21-50
• [Publications] Matumoto, Takao: "Cusp equivalence between smooth embeddings of the 2-sphere in 4-space"Topology and Geometry Monographs. 2. 343-348 (1999)
• [Publications] Kamada, Seiichi, Matumoto, Takao: "Combinatorial moves on ambient isotopic submanifolds in a manifold"Journal of Mathematical Society of Japan. 53. 321-331 (2001)
• [Publications] Kamada, Seiichi: "Stable equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisms"Journal of Topology and its Ramifications. 11. 311-322 (2002)
• [Publications] Kamada, Seiichi: "Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces"Transactions of American Mathematical Society. 355. 3947-3989 (2003)
• [Publications] Kamada, Seiichi: "Braid and knot theory in dimension four"American Mathematical Society. 347 (2002)