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多倍長数値計算環境下での逆問題・非適切問題の数値解析手法の確立

Research Project

Project/Area Number 15654017
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

磯 祐介  京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 若野 功  京都大学, 情報学研究科, 講師 (00263509)
藤原 宏志  京都大学, 情報学研究科, 助手 (00362583)
今井 仁司  徳島大学, 工学部, 教授 (80203298)
Project Period (FY) 2003 – 2004
Project Status Completed (Fiscal Year 2004)
Budget Amount *help
¥3,600,000 (Direct Cost: ¥3,600,000)
Fiscal Year 2004: ¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000)
Fiscal Year 2003: ¥1,800,000 (Direct Cost: ¥1,800,000)
Keywords多倍長数値計算 / 数値解析 / 数値計算 / 逆問題 / 非適切問題 / 第一種積分方程式 / 正則化法 / ill-posed / Tikhonov正則化法 / 積分方程式法 / 境界要素法 / スペクトル法
Research Abstract

逆問題は、医用CTなど、各種非破壊検査や断層撮影などの先端技術と関係する実用的かつ重要な問題である。この問題の多くは微分方程式や積分方程式で記述されるが、数学的には「Hadamardの意味で非適切(ill-posed)」な問題に分類されるものが殆どであり、逆問題の数値シミュレーションにおいては、その計算結果の信頼性の保証が重要課題となる。医学・工学などの応用分野では、個々の逆問題解析において、新たな解析手法が次々に提案されているが、その多くは数学的に見ればアドホックな手法と言わざるを得ない。本課題研究では、これらの手法の中から有効な普遍的的アイデアを精査し、その新しいアプローチに基づく逆問題あるいは非適切問題に対する数値解析手法を数学の視点から確立すると共に、それを多倍長数値計算環境で実現することを目標として研究が行なわれ、成果を得ている。
具体的には、平成16年度には、スペクトル法、特にスペクトル選点法の高精度性と利便性に目をつけ、データ誤差を含まない第1種積分方程式の直接離散化による数値解法を提案し、その多倍長数値計算環境上での実現を図った。前年度の研究により、Tikhonov正則化法の離散化を利用した第1種積分方程式の数値計算では、観測誤差・打ち切り誤差・正則化誤差・丸め誤差のバランスの重要性がしてされていた。今年度は、この前年度の問題点への取り組みを観測誤差と正則化誤差を切り放した純粋数学的条件下で議論を行なったうことを試み、スペクトル法の活用を行なった。この結果、これらの誤差のない環境では、今年度の成果として提案する「誤差を任意に制限できる離散化手法」の有効性が数値実験によって確認され、将来の観測誤差・正則化誤差を含めた解析に対する一つの判断基準が与えられた。さらに、この数値計算において重要な役割を果たす、多倍長数値計算環境上での高精度数値積分公式も得ている。

Report

(2 results)
  • 2004 Annual Research Report
  • 2003 Annual Research Report
  • Research Products

    (10 results)

All 2003 Other

All Journal Article (5 results) Publications (5 results)

  • [Journal Article] 64bit計算環境に適した多倍長計算環境の構築と非適切問題の数値計算2003

    • Author(s)
      藤原 宏志, 磯 祐介
    • Journal Title

      情報処理学会論文誌 44・3

      Pages: 921-931

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Numerical Method for Integral Equation of the First kind under Multiple precision Atithmetic2003

    • Author(s)
      藤原 宏志
    • Journal Title

      Theoretical and Applied Mechanics Japan 52

      Pages: 192-203

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] Direct Simulation of an integral equation of the first kind2003

    • Author(s)
      今井 仁司 他
    • Journal Title

      Proceedings of International Conference on Inverse Problems - Recent Developments in theories and Numerics (World Scientific)

      Pages: 247-254

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] 多倍長計算環境の64ビットPCでの実現と高精度数値積分公式への適用

    • Author(s)
      藤原 宏志, 磯 祐介
    • Journal Title

      日本応用数理学会論文誌 (発表予定)

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] 第一種積分方程式の高精度数値計算について

    • Author(s)
      藤原 宏志, 今井 仁司, 磯 祐介, 他
    • Journal Title

      日本応用数理学会論文誌 (発表予定)

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Publications] 藤原 宏志, 磯 祐介: "64bit計算環境に適した多倍長数値計算環境の構築と非適切問題の数値計算"情報処理学会論文誌. 44巻3号. 925-931 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 藤原 宏志, 磯 祐介: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 51巻. 387-393 (2002)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 藤原 宏志: "Numerical Method for Integral Equation of the First Kind under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 52巻. 193-203 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 若野 功: "二次元曲線亀裂の数学解析と数値解析"日本応用数理学会論文誌. 13巻1号. 59-80 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] 今井 仁司: "応用解析における多倍長計算"数学. 55巻3号. 316-325 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report

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Published: 2003-04-01   Modified: 2016-04-21  

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