大偏差原理に関連する精密評価

• Project/Area Number: 15740057
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Tohoku University (2004-2005); Nagoya University (2003)
• Principal Investigator: 梁 淞 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (60324399)
• Project Period (FY): 2003 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,400,000 (Direct Cost: ¥3,400,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2004: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2003: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: 大偏差原理 / 精密評価 / ラプラス近似 / 拡散過程 / グリーン作用素 / 量子場 / Hoegh-Krohnモデル / ラテス近似 / 補間理論 / エルゴード性

Research Abstract

今年度はまず、バナッハ空間上で値を取る独立同分布な確率変数の和に関するラプラス近似の漸近展開の研究を行った。同じ設定の下でのラプラス近似はすでに研究したが、自然な問題提起として、漸近展開の問題も出てくる。本研究はこの問題を解決した。具体的には、ラプラス・メソッドを用いて、指数上の二次式を一次式に変形し、独立性が使用できるようにすることにより、テイラー展開で具体的な評価を与えた。
次に、ユークリッド空間上の拡散過程における大偏差原理の精密評価に関する研究に取り組み、非退化な場合のラプラス近似を与えた。ユークリッド空間上の拡散過程に関しては、ステート空間がコンパクトではないので、トーラス上の場合とは違い、色々な評価が難しくなる。本研究はまず、前年度に示した半群の微分作用素に対する評価を用いて、グリーン作用素の微分に対する評価を与えた。一方、拡散過程のドリフト項が線形より強ければ、系が遠くに行く確率が十分小さいであるという性質をもつ。本研究は、これらを用い、ユークリッド空間上の拡散過程における大偏差原理の精密評価を与えた。
また、量子場のラテス近似に関する研究も行った。具体的には、2次元ユークリッド空間上のHoegh-Krohn量子場モデルにおいて、ラテス近似を考えるとき、フリー項及び相互作用項が同じラテス近似により近似される場合の確率測度族の収束性がすでに知られているが、異なるラテス近似の場合の状況がまだ知られていない。本研究は、この異なるラテス近似の場合を調べるために有力な道具となるWick積の中心極限定理を調べた。

Research Products

• [Journal Article] Asymptotic Expansions for the Laplace Approximations of Sums of Banach Space-Valued Random Variables (2005)
  • Author(s): Sergio Albeverio, Song Liang
  • Journal Title: Annal of Probability 33 Pages: 300-336
• [Journal Article] Laplace Approximations of the Large Deviations for Diffusion Processes on Euclidean Spaces (2005)
  • Author(s): Song Liang
  • Journal Title: Journal of the Mathematical Society of Japan 57 Pages: 557-592
• [Journal Article] A Limit Theorem for the Wick Exponential of the Free Lattice Fields (2005)
  • Author(s): Sergio Albeverio, Song Liang
  • Journal Title: Markov Processes and Related Fields 11 Pages: 157-164
• [Journal Article] A bounded property for gradients of diffusion semigroups on Euclidean spaces. (2004)
  • Author(s): Song Liang
  • Journal Title: Journal of Functional Analysis 216 Pages: 71-85
• [Journal Article] A new lattice approximation for the Hoegh-Krohn quantum field model. (2004)
  • Author(s): Sergio Albeverio, Song Liang
  • Journal Title: Reports on Mathematical Physics 54 Pages: 149-157
• [Journal Article] A remark on different lattice approximations and continuum limits for $phi 2^4$-fields. (2004)
  • Author(s): Sergio Albeverio, Song Liang
  • Journal Title: Random operators and Stochastic Equations 12 Pages: 313-318
• [Publications] S.Kusuoka, S.Liang: "On an ergodic property of diffusion semigroups on Euclidean space"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 10. 537-553 (2003)
• [Publications] S.Liang: "Large deviation principles for a type of diffusion processes on Euclidean space"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 10. 555-577 (2003)
• [Publications] S.Liang: "A bounded property for gradients of diffusion semigroups on Euclidean spaces"J.Funct.Anal.. 未定(発表予定).