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流体力学的非線形安定性問題に対する計算機援用証明

Research Project

Project/Area Number 15740067
Research Category

Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

渡部 善隆  九州大学, 情報基盤センター, 助教授 (90243972)

Project Period (FY) 2003 – 2005
Project Status Completed (Fiscal Year 2005)
Budget Amount *help
¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000)
Fiscal Year 2005: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2004: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
Fiscal Year 2003: ¥1,600,000 (Direct Cost: ¥1,600,000)
Keywords熱対流問題 / 計算機援用証明 / 対称性破壊分岐点 / Oberbeck-Boussinesq方程式 / 精度保証付き数値計算 / 複素固有値問題
Research Abstract

前年度までに得られた成果をもとに高Rayleigh数に対する非線形偏微分問題である2次元Oberbeck-Boussinesq方程式の定常解の存在検証を行なった.方程式は流体の粘性を規定するパラメータであるRayleigh数が大きくなるほど非線形項が支配的となり,計算が不安定になることが知られている.この問題点を回避するため,問題を残差引き戻しの形式に変換し,解の存在検証条件を導き,数値実験を行なった.併せて3次元問題への拡張を試み,原理的な適用可能性を確認した.
さらに,これらの成果を踏まえ,2次元問題に対する対称性破壊分岐点の存在検証を行った.Oberbeck-Boussinesq方程式は,Rayleigh数をパラメータとして様々な分岐を起こすことが数値的に知られている.ただし理論的に得られている知見は自明解からの分岐のみであり,非自明解からの分岐点の存在証明は得られていなかった.本研究では,分岐点における特異性を回避するためにOberbeck-Boussinesq方程式と線形化方程式によって構成される拡大方程式を与え,分岐点が存在するための条件を対称性破壊分岐理論を援用することにより導いた.さらに,拡大方程式の解の存在検証条件の定式化を行ない,検証アルゴリズムおよび検証結果を与えた.加えて,分岐曲線追跡のための数値計算スキームとともに大規模数値計算に適応したアルゴリズムの高速化・並列化を検討した.以上の研究成果によって,流体力学的非線形安定性問題,特に熱対流問題の解の大域的構造を把握するための基盤を構築することができた.

Report

(3 results)
  • 2005 Annual Research Report
  • 2004 Annual Research Report
  • 2003 Annual Research Report
  • Research Products

    (6 results)

All 2005 2004 Other

All Journal Article (4 results) Publications (2 results)

  • [Journal Article] 楕円型方程式の解に対する局所一意性付き数値的検証法の効率化2005

    • Author(s)
      渡部 善隆, 山本 野人, 中尾 充宏
    • Journal Title

      日本応用数理学会論文誌 Vol.15, No.4

      Pages: 509-520

    • NAID

      110002976854

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] A Numerical Verification Method for Solutions of Singularly Perturbed Problems with Nonlinearity2005

    • Author(s)
      Kouji Hashimoto, Ryohei Abe, Mitsuhiro T.Nakao, Yoshitaka Watanabe
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Vol.22, No.1

      Pages: 311-323

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] An Efficient Approach to the Numerical Verification for Solutions of Elliptic Differential Equations2004

    • Author(s)
      Mitsuhiro T.Nakao, Yoshitaka Watanabe
    • Journal Title

      Numerical Algorithms Vol.37, Issue 1-4

      Pages: 311-323

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] A Numerical Verification of Nontrivial Solutions for the Heat Convection Problem2004

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe, et al.
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Fluid Mechanics Vol.6, No.1

      Pages: 1-20

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Publications] M.T.Nakao, et al.: "Some Computer Assisted Proofs for Solutions of the Heat Convection Problems"Reliable Computing. 9・5. 359-372 (2003)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report
  • [Publications] Y.Watanabe, et al.: "Numerical Verification of Nontrivial Solutions for the Heat Convection Problem"Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 6・1. 1-20 (2004)

    • Related Report
      2003 Annual Research Report

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Published: 2003-04-01   Modified: 2016-04-21  

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