非凸領域におけるパラメータ依存方程式に対する解の数値的検証法

• Project/Area Number: 15740069
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 皆本 晃弥 佐賀大学, 理工学部, 助教授 (00294900)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000); Fiscal Year 2005: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2004: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2003: ¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / Double Turning Point / Perturbed Gelfand方程式 / パラメータ依存方程式 / Simle turning point / Double turning point / 拡大方程式 / 非線形方程式 / 偏微分方程式

Research Abstract

Perturbed Gelfand方程式は、非線形パラメータ依存方程式の代表例であり、その解曲線はいくつかのTurning Pointをもつことが知られている。特に、2つのSimple Turning Pointがくっつく点であるDouble Turning Pointについては、数値的にも解析的にも興味をもたれ、さまざまな研究が行われてきた。しかし、方程式の非線形性が強く、Turning Point付近では一般的な非線形方程式に対する数値計算法が破綻するため、数値計算結果もあまり報告されていない。しかも、その報告はすべて近似解に関するものでDouble Turning Pointを精度保証付き数値計算で求めた例はない。また、最近ではDouble Turning Pointに対する精度保証付き数値計算法も提案されているが、実際に、無限次元問題に適用した例はない。
そのような中、本研究では、問題を球対称解に制限した上で、Kellerらが導入した拡大方程式と中尾の方法を組み合わせてDouble Turning Pointの局所一意存在性を証明することに成功した。これは、無限次元問題のDouble Turning Point対して精度保証付き数値計算に成功した初めての例である。さらに、矩形領域や非凸領域上でも計算を行い、矩形領域ではいくつか解の数値的検証に成功した。なお、この研究の過程で、いくつかの幻影解(Ghost Solution)が観測された。

Research Products

• [Journal Article] Numerical method for verifying the existence and local uniqueness of a double turning point for a radially symmetric solution of the perturbed Gelfand equation (2006)
  • Author(s): Teruya Minamoto
  • Journal Title: Journal of Computational and Applied Mathematics (印刷中)
• [Journal Article] Numerical method for verifying the existence and local uniqueness of a double turning point for a radially symmetric solution of the perturbed Gelfand equation (2005)
  • Author(s): Teruya Minamoto
  • Journal Title: IS Technical Report Saga University 3 Pages: 1-13
• [Journal Article] Numerical method with guaranteed accuracy of a double turning point for a radially symmetric solution of the perturbed Gelfand equation (2004)
  • Author(s): Teruya Minamoto
  • Journal Title: Journal of Computational and Applied Mathematics 169・1 Pages: 151-160
• [Book] C言語による数値計算入門-解法・アルゴリズム・プログラム- (2006)
  • Author(s): 皆本 晃弥
  • Total Pages: 232
  • Publisher: サイエンス社
• [Book] やさしく学べるC言語入門-基礎から数値計算入門まで- (2004)
  • Author(s): 皆本 晃弥
  • Total Pages: 226
  • Publisher: サイエンス社
• [Publications] Teruya Minamoto: "Numerical method with guaranteed accuracy of a double turning point for a radially symmetric solution of the perturbed Gelfand equation"Journal of Computational and Applied Mathematics. (印刷中). (2004)
• [Publications] 皆本晃弥: "やさしく学べる_PL^AT_EX 2_ε入門"サイエンス社. 247 (2003)