相対論的場の偏微分方程式の初期値問題の適切性および非相対論的極限

• Project/Area Number: 15740105
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Shimane University
• Principal Investigator: 町原 秀二 島根大学, 総合理工学部, 助手 (20346373)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000); Fiscal Year 2005: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2004: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000); Fiscal Year 2003: ¥1,900,000 (Direct Cost: ¥1,900,000)
• Keywords: 非線形ディラック方程式 / ソボレフ空間 / 双線形評価式 / 非斉次輸送方程式 / 非線型ディラック方程式 / 非線型波動方程式

Research Abstract

二次の非線形項を持つ非線形ディラック方程式の初期値問題を空間一次元で考察した。初期値の滑らかさを小さいものにし、超関数まで含める負の指数のソボレフ空間での解の一意存在を得ることができた。ディラック方程式が相違なる伝播速度の波動方程式系で記述されることに着眼し解決を見た。具体的な証明はJ.Bourgainのフーリエ制限ノルムを用いたもので双線形の評価に対しては肯定的な結果とともに否定的なものも得ることができた。この仕事は論文「One dimensional Dirac equation with quadratic nonlinearities」として関連雑誌において公表済みである。
上記と同じ問題を別のアプローチを行いより小さい指数のソボレフ空間での、つまりより初期値の滑らかさの低い仮定の下で、解の一意存在を証明した。ここでこのソボレフ空間の指数は上記論文の考察における双線形の評価に対する否定的な結果より小さいものであり、根本的な改良が行われたといえる。この仕事は論文「Dirac equation with certain quadratic nonlinearities in one space dimension」として纏められ関連雑誌に掲載が決定している。
非斉次輸送方程式の解に対する双線形の評価式を上記二つの論文の二つの双線形評価を元に考察を行った。輸送方程式系の解の一意存在を得た。この仕事は論文「Bilinear estimates for the transport equations」として纏められ関連雑誌に掲載が決定している。

Research Products

• [Journal Article] One dimensional Dirac equation with quadratic nonlinearities (2005)
  • Author(s): Shuji Machihara
  • Journal Title: Discrete and Continuous Dynamical systems - Series A 13 Pages: 277-290
• [Journal Article] Endpoint Strichartz estimates and global solutions for the nonlinear Dirac equation (2005)
  • Author(s): Machihara Shuji, Nakamura Makoto, Nakanishi, Kenji, Ozawa, Tohru
  • Journal Title: Journal of Functional Analysis 219 Pages: 1-20
• [Journal Article] Dirac equation with certain quadratic nonlinearities in one space dimension
  • Author(s): Shuji Machihara
  • Journal Title: Communications in Contemporary Mathematics (掲載が決定している)
• [Journal Article] Bilinear estimates for the transport equations
  • Author(s): Shuji Machihara
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Mathematics (掲載が決定している)
• [Publications] Shuji Machihara, Kenji Nakanishi, Tohru Ozawa: "Small global solutions and the nonrelativistic limit for the nonlinear Dirac equation"Revista matematica Iberoamericana. 19. 179-194 (2003)
• [Publications] Shuji Machihara, Makoto Nakamura, Tohru Ozawa: "Small global solutions for nonlinear Dirac equation"Differential and Integral Equation. (to appear).