量子可積分系に関係する特殊関数と表現論

• Project/Area Number: 15740108
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Yokohama City University
• Principal Investigator: 竹村 剛一 横浜市立大学, 国際総合科学部, 助手 (10326069)
• Project Period (FY): 2003 – 2005
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2005)
• Budget Amount: ¥3,700,000 (Direct Cost: ¥3,700,000); Fiscal Year 2005: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2004: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2003: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
• Keywords: 量子力学 / 量子可積分系 / ホインの方程式 / モノドロミー / 楕円関数 / ダルブー変換 / Hermite-Krichever仮説法 / 有限帯ポテンシャル / 超楕円積分 / Heunの方程式 / Lameの方程式 / Inozemtsev模型 / 準可解性

Research Abstract

ホイン(Heun)の方程式とは、リーマン球面上に確定特異点を4点もつフックス型の微分方程式の標準形であり、これを調べることはBC_1型Inozemtsev模型という量子力学の模型を調べることと等価であることが知られている。確定特異店が3点の場合は、数学や物理において基本的な対象であるガウスの超幾何微分方程式と対応している。
研究代表者は、ホインの方程式に対してHermite-Krichever仮説法という手法を発展させた。これにより、モノドロミーを楕円函数によって表示する方法が確立され、超楕円積分によるモノドロミーの表示式とあわせることで、超楕円積分と楕円積分を結ぶ公式を導き出す機構が解明され、いくつかの具体的な新しい公式を得ることができた。ここで述べたことは「研究発表」に記した論文にて発表したことである。
また、ダルブー変換というものやそれを拡張したものを通じて等モノドロミーなホインの方程式の対たちを組織的に導出することができた。さらに、ダルブー変換や拡張されたものを合成することによって、有限帯ポテンシャルに関連する奇数階の微分作用素の新しい構成法を与えることにも成功した。
ところで、ホインの方程式における従来のいくつかの結果を、さらに見かけの特異点を付加した微分方程式に対しても拡張することに成功した。これの応用として、パンルベ方程式の2パラメータ解を求める新しい方法を開発した。別の応用として、新たな有限帯ポテンシャルを発見することができた。

Research Products

• [Journal Article] The Heun equation and the Calogero-Moser-Sutherland system IV : the Hermite-Krichever Ansatz (2005)
  • Author(s): Kouichi TAKEMURA
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics 258.2 Pages: 367-403
• [Journal Article] The Heun equation and the Calogero-Moser-Sutherland system II : perturbation and algebraic solution (2004)
  • Author(s): Kouichi TAKEMURA
  • Journal Title: Electron.J.Differential Equations 15 Pages: 1-30
• [Journal Article] The Heun equation and the Calogero-Moser-Sutherland system III : the finite gap property and the monodromy (2004)
  • Author(s): Kouichi TAKEMURA
  • Journal Title: J.Nonlinear Math.Phys 11 Pages: 21-46
• [Publications] Kouichi TAKEMURA: "The Heun equation and the Calogero-Moser-Sutherland system I the Bethe Ansatz method"Communications in Mathematical Physics. 235. 467-494 (2003)
• [Publications] Kouichi TAKEMURA: "On the Inozemtsev model"Czechoslovak Journal of Physics. 53. 1131-1136 (2003)