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離散最大正則性とその有限要素法・有限体積法への応用

Research Project

Project/Area Number 15J07471
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Foundations of mathematics/Applied mathematics
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

剱持 智哉  東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)

Project Period (FY) 2015-04-24 – 2018-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2017)
Budget Amount *help
¥2,500,000 (Direct Cost: ¥2,500,000)
Fiscal Year 2017: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2016: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2015: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Keywords有限要素法 / 解析半群 / 最大正則性 / 離散最大正則性 / 放物型方程式 / hydrostatic Stokes方程式 / 差分法 / 有限体積法 / Stokes方程式 / Navier-Stokes方程式
Outline of Annual Research Achievements

放物型方程式に対する最大正則性と呼ばれる性質の離散化とその応用について研究している.最大正則性とは,古くから放物型方程式の解析に用いられている解析半群という枠組みと比べて強い性質であり,非線形方程式の解析において広く用いられている.本年度は,解析半群に関連する話題に着手し,いくつか成果を得ることができた.
まず取り扱ったのは,線形放物型方程式において解が有界となる場合に.有限要素法により誤差が時間発展に伴ってどの程度拡大するのか,という点について考察した.その結果,解析半群の枠組みで解析することで,誤差は拡大せず,有界な範囲に留まる,ということがわかった.
次に取り組んだのは,Allen-Cahn方程式と呼ばれる,ある種の界面の運動を記述する偏微分方程式に関する数値解析である.この問題は,界面の幅に対応するパラメータを持ち,そのパラメータに対して数値計算におけるメッシュのサイズを十分に小さく取らなければ,数値計算がうまくいかない,ということが経験的に知られていた.しかしながら,あまりに細かなメッシュでは,現実的な時間内での計算ができない可能性がある.そこで「どの程度までメッシュを粗くしてよいのか」という問題に取り組み,「これ以上メッシュを粗くした場合には計算がうまくいかない」という,ある種の必要条件を理論的に導いた.この成果も上述の成果と同様に,解析半群の枠組みによるものである.
最後に,不連続Galerkin法による時間離散化手法 (以下,DG法) について研究した.この手法は差分法のある種の一般化であることが知られており,移動境界問題の数値計算などに広く用いられている.本年度はDG法に現れるある有理関数に対する詳細な評価を計算した.その結果,誤差評価に関して,これまで知られていた評価よりも精密な誤差評価が得られるということがわかった.

Research Progress Status

29年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

29年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2017 Annual Research Report
  • 2016 Annual Research Report
  • 2015 Annual Research Report
  • Research Products

    (38 results)

All 2018 2017 2016 2015

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (33 results) (of which Int'l Joint Research: 11 results,  Invited: 17 results)

  • [Journal Article] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic equations2018

    • Author(s)
      T. Kemmochi, N. Saito:
    • Journal Title

      Numerische Mathematik

      Volume: 138 Issue: 4 Pages: 905-937

    • DOI

      10.1007/s00211-017-0929-z

    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Numerical analysis of elastica with obstacle and adhesion effects2018

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Applicable Analysis

      Volume: 印刷中 Issue: 6 Pages: 1085-1103

    • DOI

      10.1080/00036811.2017.1416100

    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the finite element approximation for non-stationary saddle-point problems2018

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 印刷中 Issue: 2 Pages: 423-439

    • DOI

      10.1007/s13160-017-0293-5

    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves2017

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      BIT Numerical Mathematics

      Volume: 57 Issue: 4 Pages: 991-1017

    • DOI

      10.1007/s10543-017-0685-6

    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Discrete maximal regularity for abstract Cauchy problems2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Journal Title

      Studia Mathematica

      Volume: 234 Pages: 1-23

    • DOI

      10.4064/sm8495-7-2016

    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対する構造保存的な数値解法2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      数学と現象 in 清里
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 平面曲線に対する勾配流方程式の数値計算2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      不連続Galerkin有限要素法の数学理論とその周辺
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 放物型方程式に対する有限要素法の$L^\infty$解析について2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      不連続Galerkin有限要素法の数学理論とその周辺
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] An analytic semigroup approach for DG time-stepping methods2018

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      Workshop on recent progresses in modern numerical analysis
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] DG time-stepping法に対する解析半群論的なアプローチ2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2018年度年会 (応用数学分科会)
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] 有限要素法の誤差解析2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      張研コロキウム
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] $L^\infty$-error estimates for the finite element method of parabolic problems on domains with smooth boundaries2017

    • Author(s)
      T. Kashiwabara, T. Kemmochi
    • Organizer
      The Third International Conference on Engineering and Computational Mathematics (ECM2017)
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対する構造保存数値解法2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      東京大学情報理工学系研究科 3研輪講
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves2017

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      SIAM East Asian Section Conference 2017 (EASIAM2017)
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Allen-Cahn方程式に対する数値解の漸近挙動2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本応用数理学会2017年度年会
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] 放物型方程式に対する有限要素法の時間について一様な誤差評価2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2017年度秋季総合分科会 (応用数学分科会)
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] Allen-Cahn方程式の数値解に対する漸近的な誤差解析2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      RIMS研究集会「数値解析学の最前線 ---理論・方法・応用---」
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 発展方程式に対する不連続Galerkin法による時間離散化について2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      応用数学フレッシュマンセミナー
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] DG time-stepping法に対する半群論的なアプローチ2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      2017年度応用数学合同研究集会
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] Juliaによる発展方程式の数値計算と可視化2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      非線形現象と高精度高品質数値解析
    • Place of Presentation
      富山大学人間発達科学部 (富山県富山市)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Error estimate for the finite element semi-discretization of the nonstationary hydrostatic Stokes equation2017

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      The 14th Japanese-German International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics
    • Place of Presentation
      早稲田大学西早稲田キャンパス (東京都新宿区)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 2階楕円型方程式の有限要素近似に対する離散最大値原理とその応用2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      偏微分方程式の最大値原理とその周辺
    • Place of Presentation
      北海道大学理学部 (北海道札幌市)
    • Year and Date
      2016-03-04
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic problems2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      SIAM East Asian Section Conference 2016 (EASIAM2016)
    • Place of Presentation
      University of Macau, Macau (China)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic problems2016

    • Author(s)
      N. Saito and T. Kemmochi
    • Organizer
      The Sixth China-Japan-Korea Joint Conference on Numerical Mathematics (CJK2016)
    • Place of Presentation
      NIMS, Daejeon (Korea)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対するB-splineによる構造保存数値解法2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      第38回発展方程式若手セミナー
    • Place of Presentation
      あうる京北 (京都府京都市)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対するB-splineによる構造保存数値解法2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本応用数理学会2016年度年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場 (福岡県北九州市)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] 最大正則性と作用素の分数べきによる, 放物型方程式に対する有限要素法の誤差解析2016

    • Author(s)
      剱持智哉, 齊藤宣一
    • Organizer
      日本数学会2016年度秋季総合分科会 (応用数学分科会)
    • Place of Presentation
      関西大学千里山キャンパス (大阪府吹田市)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and its application to the finite element method2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      IRTG seminar
    • Place of Presentation
      TU Darmstadt, Darmstadt (Germany)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Discretization of maximal regularity and its application to the finite element method2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      The 13th Japanese-German International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics
    • Place of Presentation
      Darmstadtium, Darmstadt (Germany)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 滑らかな領域における放物型問題の有限要素近似に対する$L^\infty$誤差評価2016

    • Author(s)
      剱持智哉, 柏原崇人
    • Organizer
      2016年度応用数学合同研究集会
    • Place of Presentation
      龍谷大学瀬田キャンパス (滋賀県大津市)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] 偏微分方程式に対する有限要素法における諸問題2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      研究集会「数学と諸科学の融合 2016」
    • Place of Presentation
      早稲田大学早稲田キャンパス (東京都新宿区)
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Numerical analysis on shapes of membranes on rippled surfaces with adhesion2015

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      The 2nd Joint Workshop of A3 Foresight Program (ポスター発表)
    • Place of Presentation
      Xiameng University (中国, アモイ)
    • Year and Date
      2015-11-25
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 付着の影響のある基板上の薄膜の形状決定問題に関する数値解析2015

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      RIMS研究集会「現象解明に向けた数値解析学の新展開」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所 (京都府京都市)
    • Year and Date
      2015-11-20
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
  • [Presentation] 付着の影響下における基板上の薄膜の形状決定問題について2015

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      ワークショップ「数理モデルとシミュレーション」
    • Place of Presentation
      休暇村伊良湖 (愛知県田原市)
    • Year and Date
      2015-11-01
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Numerical analysis on shapes of membranes on rippled surfaces with adhesion2015

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      Mathematical Aspects of Surface and Interface Dynamics 10
    • Place of Presentation
      東京大学数理科学研究科 (東京都目黒区)
    • Year and Date
      2015-10-29
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 高階項を持つ付着性障害物問題の離散化について2015

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2015年度秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      京都産業大学 (京都府京都市)
    • Year and Date
      2015-09-16
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
  • [Presentation] 高階項を持つ付着性障害物問題の離散化について2015

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      応用数理学会2015年度年会
    • Place of Presentation
      金沢大学角間キャンパス (石川県金沢市)
    • Year and Date
      2015-09-11
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
  • [Presentation] Discrete maximal regularity for abstract Cauchy problems and its application to the finite element method2015

    • Author(s)
      T. Kemmochi, N. Saito
    • Organizer
      ICIAM2015
    • Place of Presentation
      China National Convention Center (中国, 北京)
    • Year and Date
      2015-08-14
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2015-11-26   Modified: 2024-03-26  

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