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勾配流を用いた結び目のエネルギー最小元の存在と非存在に関する研究

Research Project

Project/Area Number 15J09156
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Mathematical analysis
Research InstitutionSaitama University

Principal Investigator

石関 彩  埼玉大学, 理工学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2015-04-24 – 2017-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2016)
Budget Amount *help
¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
Fiscal Year 2016: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2015: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Keywords結び目のエネルギー / メビウス・エネルギー / 勾配流 / メビウス変換 / エネルギーの分解 / 変分公式
Outline of Annual Research Achievements

メビウス・エネルギーは、ユークリッド空間内の結び目の標準形を決まるためのエネルギーとしてO’Haraが導入したエネルギーの一つで、メビウス変換によって不変である事がその名前の由来となっている。特にスケール変換によって不変であるため、通常の最小化列の方法で、与えられた結び目型内でのエネルギー最小元を探索する事が出来ない。1994年にFreedmann-He-Wangによって、素結び目型においてはエネルギー最小元の存在が示されたが、その際用いられた性質がメビウス不変性である。一方、素でない結び目型においては、数値実験などを根拠にエネルギー最小元は存在しないであろうと予想されている(Kusner-Sallivan予想)が、解決されていない。そのために、メビウス・エネルギーについては、多くの研究者の興味の対象となっている。

解析学の立場からメビウス・エネルギーをより扱いやすい部分に分解できないかを考察し、ある分解定理を得た。個々の分解エネルギーもメビウス不変性を保っており、元のエネルギーが持つ幾何学的な性質は壊していない。また、それぞれの分解エネルギーに対する第1変分・第2変分公式を得た。元のエネルギーに対する変分公式に導出よりはるかに見やすいものになっており、様々な関数空間における評価も得られやすい形に整理する事が可能である。
今年度は、分解エネルギーの第一変分公式の L2表現に関する成果が学術誌に公表された。メビウス・エネルギーの第一変分公式の L2表現では、その主要部に分数冪ラプラシアンが現れる。分解エネルギーについても、第1エネルギー・第2エネルギーの双方の第一変分公式の L2表現に分数冪ラプラシアンが主要部に現れる。これは、第1エネルギー・第2エネルギーの一方が主で他方が従であるというような関係ではない事を意味する。

Research Progress Status

28年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

28年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(2 results)
  • 2016 Annual Research Report
  • 2015 Annual Research Report
  • Research Products

    (5 results)

All 2016 2015

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results,  Open Access: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 2 results) Presentation (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results)

  • [Journal Article] The L2-gradient of decomposed Mobius energies2016

    • Author(s)
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • Journal Title

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      Volume: 55 Issue: 3 Pages: 1-31

    • DOI

      10.1007/s00526-016-0993-8

    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] The invariance of the decomposed Mobius energies under the inversions with center on curves2016

    • Author(s)
      Aya Ishizeki、Takeyuki Nagasawa
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 26 Issue: 02 Pages: 1650009-1650009

    • DOI

      10.1142/s0218216516500097

    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] 分解されたメビウス・エネルギーのメビウス不変性について2015

    • Author(s)
      長澤 壯之、石関 彩
    • Organizer
      日本数学会秋季 総合分科会
    • Place of Presentation
      京都産業大学(京都府京都市)
    • Year and Date
      2015-09-15
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
  • [Presentation] A decomposition of the Mobius energy and consequences2015

    • Author(s)
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • Organizer
      Geometric Energies with Links to Applications, Topology and Open problems
    • Place of Presentation
      Basel (Switzerland)
    • Year and Date
      2015-08-31
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] A decomposition of the Mobius energy and consequences2015

    • Author(s)
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • Organizer
      Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE’s 4th Italian-Japanese Workshop
    • Place of Presentation
      Palinuro (Italy)
    • Year and Date
      2015-05-25
    • Related Report
      2015 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research

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Published: 2015-11-26   Modified: 2024-03-26  

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