代数的符号理論の研究と保型形式論への応用

• Project/Area Number: 16740023
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Jobu University
• Principal Investigator: 別宮 耕一 上武大学, ビジネス情報学部, 准教授 (60364684)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥2,900,000 (Direct Cost: ¥2,900,000); Fiscal Year 2006: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2005: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2004: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 符号理論 / 自己双対符号 / 四元体 / 保型型式 / 第二型符号 / ガロア環 / ヤコビ形式 / ヒルベルト-ジーゲル形式 / トレース直交基底 / 最小リー重み

Research Abstract

前年度の結果として、四元体上、長さ40の第二型符号で非対称な完全重み枚挙多項式を持つものを構成した。この符号の存在によって、第二型符号に付随する完全重み枚挙多項式全体の生成する環が、ある有限群の不変式環と一致することを確かめることができた。
四元体上のユークリッド内積に関する自己双対符号に付随する完全重み枚挙多項式全体の生成する環についても、第二型符号と全く同じ状況になっており、長さ16の自己双対符号に付随する非対称な完全重み枚挙多項式が環の生成元として特異な存在になっている。
そこで、その特異性を解明するべく、長さ16の自己双対符号の分類を行った。方法としては、前年度までに得られた長さ16の第二型符号の分類結果を用いて、隣接する2つの第二型符号から3つの第一型符号(第二型符号ではない自己双対符号)を構成することで分類に十分な数の第一型符号を構成した。その後、それぞれの同値類を特徴付ける不変量と、数え上げ公式を用いて分類が1完全であることを確認することができた。
二元体上、長さ32の第二型符号の分類結果を用いて、第一型符号の分類を少ない計算量で得る方法は既に知られている。ここで用いた方法は、その方法と同様の手法を四元体上の符号に適用することで、分類する対象となる符号の数が非常に大きいにも関らず、少ない計算量で分類を得る事ができた。
最終的に、長さ16の第一型符号は9858個の非同値なものが存在し、付随する完全重み枚挙多項式が非対称式であるものは、そのうちの2948個であることを確認することができた。

Research Products

• [Journal Article] Codes over F_4, Jacobi forms and Hilbert-Siegel modular forms over Q(√5) (2005)
  • Author(s): Koichi BETSUMIYA, YoungJu CHOIE
  • Journal Title: European Journal of Combinatorics 26 Pages: 629-650
• [Journal Article] Ozeki polynomials and Jacobi forms (2005)
  • Author(s): Koichi BETSUMIYA, YoungJu CHOIE
  • Journal Title: Ars Combinatoria 77 Pages: 233-244