リーマン多様体の崩壊と微分形式のラプラシアンの固有値の研究

• Project/Area Number: 16740026
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 高橋 淳也 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助手 (10361156)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥3,500,000 (Direct Cost: ¥3,500,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2004: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
• Keywords: Laplacian / 固有値 / 固有関数 / Riemann多様体の崩壊 / L^2-解析 / 収束 / 極限 / 微分形式 / Riemann多様体 / 崩壊 / コホモロジー群 / 固有値の収束 / ラプラシアン / リーマン多様体 / 調和形式

Research Abstract

閉Riemann多様体が崩壊した時、対応する微分形式に作用するLaplacianの固有値の極限について研究を行ってきた.Riemann多様体の崩壊の最も基本的な例は、fiber buundleでそのfiberが一様に潰れて底空間に収束するものである.この場合のLaplacianの固有値の極限についてはよく分かっている.一般に、断面曲率が下から一様に抑えられている場合の崩壊は、粗く言うと、このようなfiber bundleが貼り合ってできている.従って、この場合のLaplacianの固有値の極限を調べるというのはごく自然なことであり、とても重要なことである.しかし、貼り合わせの複雑さのため、一般に固有値の極限を調べるのは非常に困難である.
そこで、我々はこのような貼り合わせの崩壊の最も簡単な場合、すなわち、2つのコンパクトな境界つき直積Riemann多様体の境界で貼りあわせて得られる崩壊を調べた.ここで、一方のfiberが他方のfiberの境界になっている点が面白いところである.昨年度までは、第1固有値の極限、特に、0に収束する小さい固有値や∞に発散する大きい固有値の存在とfiberのトポロジー関係について調べてきた.
本年度はすべての固有値の極限を調べるために、まず関数に作用するLaplacianの固有値の極限を調べた.その結果、昨年度まであった底関数の次元に関する仮定を完全に取りのぞくことができ、関数に作用するLaplacianの固有値が底空間の固有値に収束することを完全に示すことができた.同時に。対応する固有関数の収束も示すことができた.証明方法は、偏微分方程式の関数解析的手法、いわゆる、$L 2$-解析を用いて行った.
なお、本結果を論文として発表することができた(別記).

Research Products

• [Journal Article] Collapsing to Riemannian manifolds with boundary and the convergence of the eigenvalues of the Laplacian (2006)
  • Author(s): Junya Takahashi
  • Journal Title: Manuscripta Mathematica 121 Pages: 191-200
• [Journal Article] Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms (2005)
  • Author(s): Junya Takahashi
  • Journal Title: Mathematische Zeitschrift 250 Pages: 43-57
• [Journal Article] The gap of the eigenvalues for $p$-forms and harmonic $p$-forms of constant length (2005)
  • Author(s): Junya Takahashi
  • Journal Title: Journal of Geometry and Physics 54 Pages: 476-484
• [Journal Article] Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms (2005)
  • Author(s): Junya Takahashi
  • Journal Title: Mathematische Zeitschrift (発表予定)
• [Journal Article] The gap of the eigenvalues for $p$-forms and harmonic $p$-forms constant length (2005)
  • Author(s): Junya Takahashi
  • Journal Title: Journal of Geometry and Physics (発表予定)