解析的トーションと不変量

• Project/Area Number: 16740030
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 吉川 謙一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教授 (20242810)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥3,600,000 (Direct Cost: ¥3,600,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2005: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2004: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
• Keywords: 解析的トーション / K3曲面 / Borcherds積 / Del Pezzo曲面 / Kahlerモジュライ / Calabi-Yau多様体 / ミラー対称性 / 保型形式 / 一般Kac-Moody代数 / 無限積 / クイレン計量 / カラビ・ヤウ多様体 / 判別式

Research Abstract

対合付きK3曲面に対して筆者が解析的トーションを用いて2004年に導入した不変量(モジュライ空間上の関数)の具体的な公式を41個の双曲型格子に対して求めた。対合付きK3曲面の位相型は全部で75個存在するので、その中の41個に対して不変旦が決定された事になる。この不変量はモジュライ空間上の保型形式のPeterssonノルムとして表示される事は既に2004年に筆者により知られていたが、今年度の研究によりこの41個の場合には以下の著しい性質が観察された。
・不変量に対応する保型形式はBorcherds積と井草保型形式の秋に因数分解される。
・上のBorcherds積を定義するのに用いる楕円モジュラー形式は普遍的なエータ積とテータ関数の積に書ける。エータ積は楕円種数の普遍的な分母として現れる関数の適当な冪乗であり、テータ関数の冪はK3曲面を対合で割って得られる商曲面の2次元Betti数のみにより定まる。
解析的トーションから得られる保型形式がこのような統一的表示を持つという事実は全く新しく、背後にその理由を説明する理論がある事を予感させる。
関連して、Del Pezzo曲面のKahlerモジュライ上にノルムが-1のHeegner因子を特徴付ける保型形式を構成した。この保型形式は対合付きK3曲面の解析的トーションから構成され、結果としてある種の対合付きK3曲面とDel Pezzo曲面の間にミラー対称性的な現象が見いだされた。同様の現象を対合付きK3曲面の間で定式化することができる。Picard格子の階数が10以上の対合付きK3曲面に対して、そのKahlerモジュライ上に判別式軌跡を特徴付ける保型形式を解析的トーションを経由して構成できることがわかった。

Research Products

• [Journal Article] On the singularity of Quillen metrics (2007)
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Mathematische Annalen 337 Pages: 61-89
• [Journal Article] Analytic Torsion and an invariant of Calabi-Yau threefold (2006)
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Nankai Tracts in Mathematics, World Scientific 10 Pages: 480-489
• [Journal Article] Isolated Critical Points and Adiabatic Limits of Chern Forms (2005)
  • Author(s): Atsuko Yamada Yoshikawa, Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Seminaires & Congres, Soc.Math.France 10 Pages: 443-460
• [Journal Article] Complex curves of genus three, Kummer surfaces and Quillen metrics (2005)
  • Author(s): Shu Kawaguchi, Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Manuscripta Mathematica 118 Pages: 201-225
• [Journal Article] Isolated critical points and adiabatic limits of Chern forms (2005)
  • Author(s): Atsuko Yamada Yoshikawa, Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Singularites franco-japonaises (J.-P.Brasselet-T.Suwa(Ed.)) (Seminaires et Congres, Soc.Math.France) 10 Pages: 443-460
• [Journal Article] K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space (2004)
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Inventiones Mathematicae 156 Pages: 53-117
• [Journal Article] Nikulin's K3 surfaces, adiabatic limit of equivariant analytic torsion, and the Borcherds Phi-function (2004)
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Mathematics 42 Pages: 339-345
• [Journal Article] Analytic torsion and automorphic forms on the moduli space (2004)
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Sugaku Exposition 17 Pages: 1-21
• [Journal Article] Discriminant of certain K3 surfaces
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Progress in Mathematics, Birkhauser (to appear)
• [Journal Article] Real K3 surfaces without real points, equivariant determinant of the Laplacian, and the Borcherds Φ-function
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Mathematische Zeitschrift (to appear)
• [Journal Article] Analytic Torsion and an invariant of Calabi-Yau threefold
  • Author(s): Ken-Ichi Yoshikawa
  • Journal Title: Proceeding of XXIII international conference of Differential Geometric Methods in Theoretical Physics, World Sci.Publ. (to appear)